Переходные процессы и автоколебания релейной системы

Переходные процессы и автоколебания релейной системы.

Рассмотрим систему с релейной характеристикой самого общего вида.

Уравнение динамики объекта: . Уравнение регулятора: .

Общее дифференциальное уравнение динамики системы:

.

Представим это уравнение в виде:

, .

Уравнение фазовых траекторий:

.

Нелинейная функция  описывается следующим образом:

если , то ,

если , то .

Выделим на фазовой плоскости три области: (1) , (2) , (3) , разделённые так называемыми линиями переключения (пунктирные линии на рисунке).

Такая фазовая плоскость называется многолистной. На каждом листе – свой вид фазовых траекторий. По линиям переключения эти листы сшиваются.

В области (1) уравнение фазовых траекторий принимает вид:

.

Проинтегрировав его, получим уравнение фазовых траекторий в области (1):

.

Фазовые траектории имеют асимптоту . Изображающая точка движется (грубо говоря) по часовой стрелке, так как  – скорость изменения x, больше нуля при  и меньше нуля при .

В области (2) уравнение фазовых траекторий принимает вид:

. Его решение  – прямолинейные отрезки.

В области (3) уравнение фазовых траекторий принимает вид:

.

Проинтегрировав его, получим уравнение фазовых траекторий в области (3):

.

Фазовые траектории имеют асимптоту . Изображающая точка движется по часовой стрелке, так как  – скорость изменения x, больше нуля при  и меньше нуля при .

В целом фазовые траектории имеют форму спирали, что соответствует затухающему колебательному процессу. Но не до нуля, а до некоторого произвольного значения в интервале . Это зона нечувствительности реле. Вместо особой точки здесь получается особый отрезок равновесных состояний. Ход процесса определяется начальными условиями.

Частные случаи.

В случае релейной характеристики с зоной нечувствительности без петель картина фазовых траекторий аналогична описанной выше, с той разницей, что теперь .

В случае чисто петлевой гистерезисной релейной характеристики будет отсутствовать область (2). В этом случае

если , то ,

если , то .

Траектории слева: , справа: .

Виден устойчивый предельный цикл. Внешние траектории сходятся к нему, а внутренние – расходятся к нему. Амплитуда автоколебаний порядка b. Так работают, например, вибрационные регуляторы напряжения сети постоянного тока.

Система со скользящим процессом.

Уравнения динамики системы:

, , .

В терминах дифференциальных уравнений они имеют вид:

, .

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

. Линия переключения .

Справа от этой линии уравнение фазовых траекторий имеет вид:

, откуда  – параболы рогами налево.

Слева от этой линии уравнение фазовых траекторий имеет вид:

, откуда  – параболы рогами направо.

На отрезке AB линии переключения  фазовые траектории встречаются, но движение не прекращается, так как на этой линии скорость не равна нулю:

.

Решением этого уравнения является экспоненциальное скользящее движение:

.

Здесь значения  и  относятся к моменту попадания изображающей точки на линию так называемого скользящего процесса.

Реально такой процесс соответствует переключению реле с большой частотой.

Отметим следующее. Нелинейная система второго порядка на участке скользящего процесса вырождается в линейную систему первого порядка. При этом закон движения не зависит от параметров прямой цепи системы и определяется только коэффициентом обратной связи.

Найдём положение концов отрезка скользящего процесса A и B. В этих точках касательные к параболам совпадают с линией переключения, то есть

.

Из уравнения для фазовых траекторий получим:

, .

Следовательно, отрезок скользящего процесса тем больше, чем больше коэффициенты усиления прямой цепи и обратной связи.