Определение угловых скоростей всех колес механизма как функцию времени

Задание для контрольной работы по теоретической механике (кинематика К3)

a) Механизм состоит из ступенчатых колес 1,2,3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на ступень колеса 3. Радиусы ступеней колес равны соответственно r1=2см, R1=4см, r2=6см, R2=8см, r3=12см, R3=16см. На ободьях колес расположены точки А и С. Ведущим звеном механизма является рейка 4, ее закон движения – s4=4(7t-t2). Определить в момент времени t=2с скорости vA, vC и ускорения e2, aA, a5. b) По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 ( x = 4+90t2, x измеряется в см, t – в секундах ) определить скорость, а также тангенциальное, центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен 0.5м. Данные для расчета: R2=20см, r2=10см, R3=30см, r3=10см.

Решение задачи  a

Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ступенях колес через v, точек, лежащих на внутренних ступенях – через u.   1. Определяем сначала угловые скорости всех колес как функцию времени t. Зная закон движения рейки 4, находим ее скорость: Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то v2=v4 или w2R2=v4. Отсюда

Скорость движения ремня u₂=u₁=w₂r₂=w₁r₁, тогда

Колеса 1 и 3 находятся во внешнем зацеплении, поэтому v₁=w₁R₁=v₃=w₃R₃ и

2. Определяем v_A. Так как v_A=w₁R₁, то  и при t=2с после подстановки всех численных значений получим v_A=18 см/с

3. Определяем v_С. Так как точка С лежит на ободе ступени колеса 3, радиус которой – r₃, то v_C=u₃=w₃r₃. Подставив сюда численные значения будем иметь:

4. Определяем угловое ускорение e₂. Получим его просто продифференцировав по времени зависимость w₂ от t и подставив численные значения:

              На рисунке дуговые стрелки угловых скоростей колес направлены противоположно дуговым стрелкам угловых ускорений. Это означает, что в рассматриваемый момент времени (t=2с) колеса механизма замедляют свое вращение (в частности, e₂ имеет отрицательное значение).

5. Для определения a_A (ускорение точки A) примем во внимание, что

.

Нормальное (центростремительное) ускорение точки А численно равно a_An = 81 см/с², тангенциальное (касательное) ускорение a_At= -12 см/с². Отрицательное значение показывает, что вектор a_At направлен противоположно вектору скорости v_A, вектор нормального ускорения направлен к центру колеса 1.

              Полное ускорение точки А, таким образом, равно:

81.88 см/с².

6. Определяем a₅. Ускорение a₅ груза 5 равно тангенциальному ускорению точки С a_Ct:

Решение задачи  b

Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ступенях колес через v, точек, лежащих на внутренних ступенях – через u.   1. Определяем сначала угловые скорости и ускорения всех колес как функцию времени t. Зная закон движения груза 1, находим его скорость: Так как нить намотана на внешнюю ступень колеса 2, то v1=v2 или v1=w2R2. Отсюда ;

Внешняя ступень колеса 3 находится в зацеплении с внутренней ступенью колеса 2, скорости точек этих ступеней равны : v₃=u₂ или w₃R₃=w₂r₂. Получаем

              Угловые скорости и ускорения имеют одинаковые знаки, поэтому их дуговые стрелки изображены на рисунке направленными в одинаковые стороны.

2. Определяем время, за которое груз 1 пройдет заданный путь:

3. Определяем скорость v_M. Точка М находится на ободе ступени радиуса r₃, ее скорость равна u₃ = v_M = w₃r₃.  Для t=0.7с вычисляем скорость точки: v_M = 2.1см/с. Скорость точки направлена по касательной к ободу ступени колеса 3.

4. Определяем тангенциальное ускорение a_t точки М. Для него имеем:

Это ускорение направлено по касательной к ободу ступени колеса 3, также, как и скорость v_M.

5. Определяем центростремительное ускорение a_n точки М. Это ускорение определяется по формуле , что дает нам значение a_n=0.441 см/с². Центростремительное ускорение всегда направлено к оси вращения.

6. Полное ускорение точки М получим по формуле : , это даст нам значение a=30.003 см/с², то есть полное ускорение почти полностью определяется своей тангенциальной компонентой.