Определение расщепления второй линии Лаймана. Определение волновой функции мультиплета

Задачи на контрольной 3 ноября 2002 г. (группы 041, 042, 043)

1. (600) Определить расщепление второй линии Лаймана (переход 1s® 3p) для атома водорода, помещенного в постоянное электрическое поле. Определить количество линий в разных поляризациях и величину расщепления.

Решение. Линейный эффект Штарка приводит к расщеплению орбиталей с главным квантовым числом n = 3. Орбитали , , , 3d_±2 имеют энергии , 0, , 0, где V₁, V₂, V₃ – матричные элементы V_3s3p0, V_3p03d0 и V_3p13d1, соответственно. Правила отбора Dl = ±1 и Dm_l = 0 (z), ±1 (x,y) показывают, что вторая линия Лаймана в случае z-поляризованного света (относительно внешнего постоянного поля) расщепится на две линии (переходы 1s ® , расстояние между которыми будет равно . При перпендикулярной поляризации (x,y) линия расщепится также на две линии (переходы 1s ®, расстояние между которыми будет 2V₃. Таким образом, при использовании неполяризованного света вторая линия Лаймана расщепится на четыре комплненты. Расчет матричных элементов показывает, что , , . Отсюда , и внутренние две компоненты поляризованы перпендикулярно, а две внешние параллельно.

2. (600) Определить волновую функцию с M_J = 1 мультиплета ³P₁, возникшего из основного терма конфигурации p².

Решение. Учитывая, что M_J = 1 включим в линейную комбинацию следующие микросостояния: (1-1)aa, (-11)aa, (10)ab, (10)ba, (01)ab, (01)ba. Для нахождения коэффициентов в линейной комбинации при этих функциях используем уравнение . Решение этого уравнения позволяет определить искомую функцию в виде

.

3. (200) Определить g-фактор наибольшего по энергии мультиплета, возникшего из основного терма электронной конфигурации (2k)^4k.

Решение. Можно достаточно просто показать, что основной терм этой конфигурации . Так как для него S = L = 2k, все мультиплеты, возникшие из этого терма имеют одинаковые g-факторы (g_J = 3/2).

4. (200) Определить вырождение уровня с энергией +bН, который появляется из терма ^2S+1L в сильном магнитном поле (эффект Пашена – Бака).

Решение. В сильном магнитном поле энергия уровней определяется выражением E = bН(M_L + 2M_S). Таким образом, вырождение равно числу комбинаций, которыми можно получить значение (M_L + 2M_S) = 1. Анализ позволяет представить следующие случаи и ответы

Целое значение S

1) при L ³ 2S+1   ответ  2S+1

2) при L < 2S+1  и при четном L ответ L, при нечетном L ответ  L+1

Полуцелое значение S

1) при L ³ 2S   ответ  2S+1

2) при L < 2S  и при четном L ответ L+1, при нечетном L ответ  L

5. (400) Имеются две слабо взаимодействующие подсистемы, каждая состоящая из двух электронов. Для первой подсистемы спиновая функция j₁ = aa, для второй - j₂ = bb. Определить вероятность возможных значений полного спина для системы в целом.

Решение. Вид спиновых функций показывает, что спин каждой подсистемы равен 1, поэтому полный системы может принимать значения 2, 1, 0. Обозначим начальные функции j₁ = j₁₁, j₂ = j_1-1, что означает принадлежность их к состоянию подсистем со спином 1 с соответствующими проекциями. Начальное состояние определяется полной проекцией равной нулю M_s = 0. Для определения вероятности реализации определенного значения полного спина необходимо найти функцию этого спина с нулевой проекцией. Тогда квадрат коэффициента перед функцией j₁₁j_1-1 и даст нам искомую вероятность. Для спина S = 2 функция с суммарной проекцией M_s = 2 может быть записана в виде y₂₂ = j₁₁·j₁₁, где j₁₁ = aa и j₁₁ = aa. Действуя на эту функцию оператором понижения, получим функцию с суммарной проекцией Ms = 1

.

Действуя еще один раз оператором понижения, можно определить функцию с нулевой суммарной проекцией M_s = 0.

.

Таким образом, вероятность реализации полного спина S = 2 равна 1/6. Для полного спина S = 1 функция с проекцией M _s= 1 может быть записана в виде

,

где коэффициенты с₁ и с₂ можно найти из условия ортогональности этой функции к функции y₂₁

.

При действии оператора понижения на эту функцию, получим функцию полного спина S = 1 с нулевой проекцией

.

Отсюда, вероятность реализации полного спина S = 1 равна 1/2. Так как сумма вероятностей равна 1, вероятность реализации полного спина S = 0 равна 1/3. То же самое можно определить, если найти единственную функцию этого спина из условия ортогональности ее функциям y₂₀ и y₁₀.

.