Операционное исчисление. Нахождение изображений. Восстановление оригинала по изображению

Глава 17

Операционное исчисление

17.1.    Нахождение  изображений

17.1.1. Определение оригинала и изображения

          Определение 1. Функцией – оригиналом называется любая комплекснозначная функция  действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям: а)  при , причем принимается, что ; б) на любом конечном отрезке  функция  может иметь лишь конечное число точек разрыва первого рода; в) возрастает не быстрее показательной функции: существуют такие постоянные M и , что

                                              при ;                                            (1.1)

 называется показателем роста функции .

          Простейшей функцией – оригиналом является единичная функция Хевисайда

                                                                                                     (1.2)

Для выполнения условия а) полагают функцию равной . Имея в виду это замечание, множитель  обычно не пишут (если не имеет место запаздывание аргумента – см. ниже, -где наличие множителя  обязательно).

          Пример 1. Показать, что функция  является оригиналом.

          Решение. Условия а) и б), очевидно выполнены. Условие в) выполнено в силу оценки , так что в качестве M в этом условии можно взять любое число, большее или равное единице; =2.

          Определение 2. Преобразованием Лапласа функции-оригинала называется функция  комплексной переменой , определяемая интегралом Лапласа

                                             .                                              (1.3)

          Теорема. Если  - оригинал, то функция (интеграл (1.3) – преобразование Лапласа функции) существует и аналитична в полуплоскости .

          Определение 3. В случае существования интеграл (1.3) называется изображением функции . Соответствие между оригиналом и его изображением   символически записывается в виде .

Если - изображение, то

                                                    -                                                   (1.4)

необходимое условие существования изображения.

          Пример 2. Найти изображение функции Хевисайда (1.2).

          Решение. Функция Хевисайда является оригиналом с показателем роста . Имеем по формуле (1.3):

                                   .                                    (1.2¢)

          Пример 3. Могут ли функции а) ,  б) p,  в)  быть изображениями каких-либо оригиналов?

          Решение. а) да, функция  аналитична в полуплоскости ; необходимое условие для нее выполняется; б) нет, не выполнено необходимое условие (1.4); в) нет: из аналитичности F(p) в полуплоскости  следует, что все особые точки функции F(p) должны лежать левее прямой или на самой прямой. По этой причине функция  не является изображением: она имеет бесконечное множество полюсов  , расположенных по всей оси Os.

17.1.2. Свойства преобразования Лапласа. Таблица основных

            изображений

          Приведем свойства преобразования Лапласа и таблицу основных изображений, с помощью чего можно найти изображения большинства функций, встречающихся на практике.

А.    Свойства преобразования Лапласа. Отметим симметричность свойств: каждому свойству оригиналов соответствует аналогичное (“двойственное”) свойство изображений – см. свойства III и IV, V и VI, VII и VIII. Пусть , .

I. Свойство линейности. Для любых  комплексных постоянных и

                                                                         (1.5)

II. Теорема подобия. Для любого постоянного

                                                    .                                                 (1.6)

III. Дифференцирование оригинала. Если  или вообще  является оригиналом, то

                                                                                                (1.7)

или

                  .                 (1.7¢)

IV. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на –t оригинала

                                                     ,                                                      (1.8)

или вообще

                                             .                                              (1.8¢)

V. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p:

                                                   .                                                   (1.9)

VI. Интегрирование изображения. Если интеграл  сходится, то он служит изображением функции :

                                                                                                     (1.10)

- интегрирование изображения  равносильно делению на tоригинала.

VII. Теорема запаздывания. Включение оригинала с запаздыванием на

  Рис.1.

  (рис. 1) равносильно умножению изображения на ; то есть

                                      .                                             (1.11)

VIII. Теорема смещения. “Смещение” изображения на  равносильно умножению оригинала на ; то есть  (комплексного)

                                                 .                                            (1.12)

Определение. Сверткой функций-оригиналов  и  (обозначается ) называется интеграл

                                                                       (1.13)

IX. Теорема умножения. Произведение двух изображений  и  также является изображением, причем