Однородное линейное уравнение. Неоднородные уравнения

Страницы работы

Содержание работы

          Всякое решение уравнения (6.1) является частным решением, так что особых решений оно не имеет.

          Однородное линейное уравнение (ОЛДУ)

                                                                          (6.2)

(всегда) имеет нулевое решение , удовлетворяющее нулевым начальным условиям  при  и оно единственно.

Теорема 2. Общее решение ОЛДУ есть линейная комбинация решений  его фундаментальной системы:

                                                 .                                    (6.3)

Определение 2. Фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (6.2) называется n его любых линейно-независимых частных решений .

Замечание. Для любого ОЛДУ существует бесконечное число фундаментальных систем решений.

Определение 3. Система из n функций  называется линейно-независимой ( на (a,b)) системой, если тождество

                                                                                    (6.4)

выполняется лишь в случае .

Теорема 3. Чтобы система решений  была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского

                                                                             (6.5)

был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала .

Ниже (§10.6.2) показывается, что построить ФСР в элементарных функциях удается всегда для уравнений с постоянными коэффициентами – для этих уравнений легко находится общее решение. Для уравнений с переменными коэффициентами общего (точного) метода построения ФСР не существует.

Пример 1. Показать, что система функций  линейно независима на интервале (.

Решение. Равенство (6.4) может выполняться лишь при условии, что ; иначе в левой части будем иметь многочлен степени не выше третьей, который может обратиться в нуль не более, чем при трех значениях x из данного интервала.

Пример 2. Показать, что система функций , где  попарно различны, линейно независима на интервале .

Решение. Предположим противное; тогда в тождестве (6.4) . Пусть это . Деля обе части тождества (6.4) на , получим: . Дифференцируя это тождество и деля обе части его на , придем к тождеству . Дифференцируя, получим , что невозможно, так как  по предположению,  по условию, а .

Замечание. Для случая двух функций критерием их линейной независимости является отношение их, тождественно не равное постоянной.

Пример 3. Функции tgx и ctgx линейно независимы в интервале , так как их отношение  в этом интервале. Функции sin2x и  линейно зависимы в интервале , так как их отношение  в этом интервале (в точках разрыва функции  доопределяем это отношение по непрерывности).

Пример 4. Найти определитель Вронского для функции .

Решение. Имеем

.

Пусть  есть система из n линейно-независимых на отрезке [a,b] функций, имеющих все производные до n-го порядка включительно. Тогда уравнение

                                                             (6.6)

где - независимая функция, определяет ДУ, для которого функции  составляют ФСР.

Пример 5. Составить ДУ, для которого функции  образуют ФСР.

Решение. Составим уравнение (6.6):

 или .

Раскрывая последний определитель по элементам третьего столбца, получим искомое уравнение: .

Замечание. В данном примере определитель Вронского  обращается в ноль при , что не противоречит общей теории, так как записав уравнение в виде , обнаружим, что коэффициент при  терпит разрыв при .

          Если известно какое-либо частное решение  уравнения (6.2), то подстановка приводит это уравнение к линейному уравнению относительно функции , не содержащему (явно) этой функции и, следовательно, подстановка  понижает порядок этого уравнения на единицу.

Пример 6. Найти общее решение уравнения , если функция  есть его частное решение.

Решение. Подставив  в уравнение, убеждаемся в том, что , действительно, является его частным решением. Положим , найдем . Подставив  в уравнение, после преобразования придем к уравнению . Полагая здесь , придем к уравнению первого порядка относительно функции , общее решение которого имеет вид . Учитывая, что , придем к уравнению , интегрируя которое, найдем: . Заменяя z по формуле , получим общее решение исходного уравнения: .

Замечание 1. Изложенный метод обобщается на случай, когда известны k частных линейно-независимых решений уравнения (6.2).

Замечание 2. Для построения общего решения ОЛДУ  достаточно знать только одно ненулевое частное решение его. При этом второе частное решение  можно найти по формуле .

Пример 7. Найти общее решение уравнения , если оно имеет частное решение .

Решение. Найдем  Поэтому общим решением уравнения будет .

2°. Неоднородные уравнения (НЛДУ). Приведем теорему о структуре общего решения НЛДУ.

Теорема 4. Общее решение НЛДУ (6.1) есть сумма общего решения (6.3) ОЛДУ (6.2) и любого частного решения НЛДУ (6.1):

                                                                                        (6.7)

Все решения НЛДУ содержатся в формуле (6.7).

          Пользование формулой (6.7) на практике затруднительно, так как метод определения частного решения НЛДУ получен лишь для уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью некоторого специального вида.

          Приведем одно свойство решений НЛДУ (принцип суперпозиции решений): если правая часть НЛДУ (6.1) состоит из нескольких слагаемых и для НЛДУ с той же левой частью и правой частью, равной каждому из этих слагаемых в отдельности, мы можем найти частное решение, то сумма последних будет частным решением всего уравнения (6.1).

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
354 Kb
Скачали:
0