Одномерная управляемая системы с одной степенью свободы

Одномерная управляемая системы с одной степенью свободы [3].

Кинетическая энергия системы , потенциальная энергия – , добавочная неконсервативная сила – .

Уравнение движения системы:

.

Оператор дифференцирования по времени (обозначение) . При этом

, или  – формальная запись.

Передаточная функция системы (дробно-рациональная функция от D):

, .

Последнее соотношение эквивалентно исходному дифференциальному уравнению. Этому соотношению ставится в соответствие структурная схема:

.

Здесь  – входной сигнал,  – выходной сигнал.

Характеристическое уравнение (что это такое – ниже):

.

Корни при условии  имеют вид . Здесь

, .

Решение уравнения движения:

.

Заметим, что при ,  (т.е. при нулевых начальных условиях)

.

Здесь  – функция веса системы или импульсная переходная функция данной системы:

 при ,  при .

Заметим, что  – закон движения системы при , , , а также при , ,  – единичная импульсная функция (дельта-функция Дирака). Поэтому-то  и называется импульсной переходной функцией.

Реакция системы на возмущение при нулевых начальных условиях:

 – интеграл Дюамеля-Карсона.

Установившийся процесс.

Пусть . Тогда закон движения системы (при нулевых начальных условиях):

.

Пусть  (т.е. входной сигнал подан бесконечно давно). Тогда

.

Или, для краткости,  – установившийся процесс.

Функция веса и передаточная функция.

Стационарная система – система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Изображение функции  по Лапласу:

.

Функция комплексного переменного , образованная из передаточной функции  заменой , есть изображение по Лапласу функции веса, они полностью эквивалентны друг другу (пока без доказательства):

.

В нашем случае . Доказательство предыдущего утверждения:

.

Частотная характеристика.

          Обратное преобразование Лапласа даётся формулой Римана-Меллина:

, .

В системе, у которой все полюсы передаточной функции расположены левее мнимой оси, собственные колебания асимптотически затухают. Таким образом, здесь можно положить . То же касается прямого преобразования Лапласа:

, так как  при .

Функция  называется частотной характеристикой системы.

Замкнутая управляемая система.

Назначение системы – удерживать достаточно близким значение сигнала  на выходе к значению сигнала  на входе (обеспечивать малость рассогласования ).

Пусть так называемый «следящий вал» приводится во вращение двигателем постоянного тока. Управляющее двигателем напряжение пропорционально рассогласованию , где  – угол поворота задающего диска, движение которого должен повторять следящий вал.

Уравнение движения (x – угол поворота вала):

Введём обозначение , тогда

, или .

Уравнение замкнутой управляемой системы:

, здесь  – передаточная функция.

Соответствующее дифференциальное уравнение .

Разомкнутая управляемая система.

Уравнение движения:

.

Теперь  – уравнение разомкнутой управляемой системы, а  – передаточная функция разомкнутой управляемой системы.

Зависимость между передаточными функциями замкнутой и разомкнутой управляемых систем:

.

Воспроизведение преобразованного входного сигнала.

Если управляемая система должна воспроизводить не сам входной сигнал, а преобразованный сигнал , то следует поместить в цепь обратной связи устройство с передаточной функцией .

Сигнал рассогласования: .

Уравнения замкнутой управляемой системы:

.

Перепишем эти уравнения так:

, или .

Передаточная функция замкнутой управляемой системы:

, уравнение движения .

Уравнения разомкнутой управляемой системы:

.

Отсюда .

Наконец, передаточная функция разомкнутой управляемой системы

.