Непрерывность функции в точке. Эквивалентные функции. Критерий Коши для непрерывной функции

Отношение порядка О. Если для функций f(x) и g(x), то функция f(x) называется ограниченной по сравнению с функцией g(x) в окрестности точки x₀. В этом случае .

Отношение порядка o. Функция a(x) называется бесконечно малой при  по сравнению с функцией f(x), если , при этом . В этом случае .

Непрерывность функции в точке. Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки x₀, будет непрерывна в точке x₀, если.

Предел функции в точке (по Гейне). Число , если .

Предел функции в точке (по Коши). Число , если  существует бесконечно малая d-окрестность точки x₀, что .

Отношение порядка О. Если для функций f(x) и g(x), то функция f(x) называется ограниченной по сравнению с функцией g(x) в окрестности точки x₀. В этом случае .

Отношение порядка o. Функция a(x) называется бесконечно малой при  по сравнению с функцией f(x), если , при этом . В этом случае .

Непрерывность функции в точке. Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки x₀, будет непрерывна в точке x₀, если.

Предел функции в точке (по Гейне). Число , если .

Предел функции в точке (по Коши). Число , если  существует бесконечно малая d-окрестность точки x₀, что .

Отношение порядка О. Если для функций f(x) и g(x), то функция f(x) называется ограниченной по сравнению с функцией g(x) в окрестности точки x₀. В этом случае .

Отношение порядка o. Функция a(x) называется бесконечно малой при  по сравнению с функцией f(x), если , при этом . В этом случае .

Непрерывность функции в точке. Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки x₀, будет непрерывна в точке x₀, если.

Предел функции в точке (по Гейне). Число , если .

Предел функции в точке (по Коши). Число , если  существует бесконечно малая d-окрестность точки x₀, что .

Отношение порядка О. Если для функций f(x) и g(x), то функция f(x) называется ограниченной по сравнению с функцией g(x) в окрестности точки x₀. В этом случае .

Отношение порядка o. Функция a(x) называется бесконечно малой при  по сравнению с функцией f(x), если , при этом . В этом случае .

Непрерывность функции в точке. Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки x₀, будет непрерывна в точке x₀, если.

Предел функции в точке (по Гейне). Число , если .

Предел функции в точке (по Коши). Число , если  существует бесконечно малая d-окрестность точки x₀, что .

Эквивалентные функции. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при , если .

Функции одного порядка. Если даны функции f(x) и g(x) такие, что  и , то они называются функциями одного порядка:

Критерий Коши для непрерывной функции. Для того чтобы функция f(x) имела в точке x конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для .

Теорема Вейерштрассе. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и нижней грани.

Теорема Больцано-Коши. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], , то . Т.е. непрерывная функция, принимающая на отрезке какие-либо два значения, принимает и любое значение между ними.

Равномерная непрерывность. Функция f(x), определенная на множестве X, называется равномерно непрерывной на множестве X, если

Теорема Кантора. Всякая непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем.

Эквивалентные функции. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при , если .

Функции одного порядка. Если даны функции f(x) и g(x) такие, что  и , то они называются функциями одного порядка:

Критерий Коши для непрерывной функции. Для того чтобы функция f(x) имела в точке x конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для .

Теорема Вейерштрассе. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и нижней грани.

Теорема Больцано-Коши. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], , то . Т.е. непрерывная функция, принимающая на отрезке какие-либо два значения, принимает и любое значение между ними.

Равномерная непрерывность. Функция f(x), определенная на множестве X, называется равномерно непрерывной на множестве X, если

Теорема Кантора. Всякая непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем.

Эквивалентные функции. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при , если .

Функции одного порядка. Если даны функции f(x) и g(x) такие, что  и , то они называются функциями одного порядка:

Критерий Коши для непрерывной функции. Для того чтобы функция f(x) имела в точке x конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для .

Теорема Вейерштрассе. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и нижней грани.

Теорема Больцано-Коши. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], , то . Т.е. непрерывная функция, принимающая на отрезке какие-либо два значения, принимает и любое значение между ними.

Равномерная непрерывность. Функция f(x), определенная на множестве X, называется равномерно непрерывной на множестве X, если

Теорема Кантора. Всякая непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем.

Эквивалентные функции. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при , если .

Функции одного порядка. Если даны функции f(x) и g(x) такие, что  и , то они называются функциями одного порядка:

Критерий Коши для непрерывной функции. Для того чтобы функция f(x) имела в точке x конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для .

Теорема Вейерштрассе. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и нижней грани.

Теорема Больцано-Коши. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], , то . Т.е. непрерывная функция, принимающая на отрезке какие-либо два значения, принимает и любое значение между ними.

Равномерная непрерывность. Функция f(x), определенная на множестве X, называется равномерно непрерывной на множестве X, если

Теорема Кантора. Всякая непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем.