Методы интегрирования уравнения переноса излучения и нахождения потока лучистой энергии

Лекция № 14

Методы интегрирования уравнения переноса излучения и нахождения потока лучистой энергии.

Вклад радиационного поля в уравнение энергетического баланса сводится к определению дивергенции полного потока излучения, что связано с необходимостью решения уравнения переноса (13.13), проинтегрированного по углам и частоте. Решение этой задачи обычно также разбивается на два этапа: интегрирование по углам и интегрирование по частоте, однако, даже при таком подходе здесь приходится преодолевать серьезные математические трудности. Поэтому первоначально развились методы решения, использующие те или иные допущения. В первую очередь это предельные приближения, вообще не требующие решения уравнения переноса, когда поле излучения теряет интегральный по пространству характер и определяется лишь локальными параметрами среды. Они позволяют оперативно, на уровне оценок, определить перенос энергии излучением и получили широкое распространение в задачах, где не требуется точного и детального учета излучения. Другим примером упрощенного подхода является модель плоского слоя среды, часто применяемая в астрофизике при изучении переноса энергии в фотосферах звезд и в теории гиперзвукового обтекания тел.

Излучение плоского слоя

          В начале рассмотрим простейшую физическую модель – излучение плоского слоя. В ряде случаев излучаемый объем газа может быть удовлетворительно описан одномерной моделью плоского слоя, когда параметры состояния меняются поперек слоя. Совместим ось х с направлением нормали к поверхности слоя (рис. 13.1) Для выходящего из слоя потока излучения  имеем

                                                (14.1).         

Подставляя в (14.1) выражение для интенсивности вдоль луча (13.12) в случае отсутствия приходящего из вне излучения и переходя к оптической толщине  получим

                                    (14.2),

или

                                                       (14.3),

где - интегральная экспонента .

Поток излучения с поверхности плоского слоя называют еще яркостью поверхности.

С помощью формулы (14.3) легко написать выражение для потока  в любой точке  плоского слоя толщиной d:

                                      (14.4).

Если на границах 0 или d есть входящие из вне потоки излучения нетрудно дописать дополнительные члены в (14.4) от этих потоков, аналогично тому, как это было сделано в выражении (13.12) для . Эти члены выразятся через функции . Чтобы найти дивергенцию потока излучения, входящую в балансовое уравнение энергии, нужно продифференцировать выражение (14.4) и в результате получим

                    (14.5).

Рассмотрим в качестве частного случая плоский слой с постоянной температурой Т.

Яркость такого слоя согласно (14.3) есть:

                             (14.6).

Она всегда меньше яркости абсолютно черного тела той же температуры и стремится к последней при t_n ® ¥ (Е₃ (¥) = 0). Очевидно, полупространство всегда излучает как черное тело.

Для оптически тонкого слоя t_v << 1 имеем  и

                                                                                             (14.7).

Спектральную яркость поверхности неравномерно нагретого тела удобно характеризовать эффективной или яркостной температурой  равной температуре абсолютно черного тела, посылающего с поверхности на данной частоте точно такой же поток излучения, что и реальное тело.

Рассмотрим определение  на примере плоского слоя. Приравняем поток, определяемый выражением (14.3),  к : , откуда с учетом выражения для  имеем уравнение для определения  

                                   (14.8).

Предельные приближения.

К такого рода приближениям относятся замена реальных излучающих объемов однородными, предположение об очень малой или большой оптической плотности объемов газа или комбинация указанных приближений.

Однородные модели.

Замена реального излучающего объема с переменными температурой и давлением объемом с постоянными (однородными) свойствами возможна лишь в некоторых задачах. Погрешность такого рода расчетов трудно контролировать. В то же время значительное упрощение вычислений и наличие в литературе данных по излучению однородных объемов обуславливает привлекательность такой методики.

Однородные модели используются в тех случаях, когда требуется оценить выходящий из объема поток излучения, а сам объем не сильно отличается от однородного. Наиболее просто спектральный поток лучистой энергии, падающий на единичную площадку, выделенную на границе излучающего объема определяется для плоского слоя и полусферического объема.

Для плоского слоя конечной толщины d и постоянной температуры поток излучения равен

,                                                                    (14.9)