Комплексное представление в теории цепей

Комплексное представление в теории цепей - основное преимущество - замена операций интегрирования и дифференцирования умножением и делением.

Переход к комплексным числам ?

Можно   

Но удобнее ввести комплексный ток вида        - так, что реальный ток

- здесь     - комплексная амплитуда (содержит и амплитуду, и фазу)

   - аналогично комплексная амплитуда напряжения

Говорят, что комплексные амплитуды   символизируют

------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

    -  где 

Введем

 , 

 ,   

Подставляя в уравнение :

Операция взятия мнимой части коммутативна с вещественными операторами Þ

- но под операторами  - комплексные экспоненты, соответствующие в комплексной плоскости векторам, вращающимся с частотой  :

И т.к. уравнение справедливо при любом  , то равны не только мнимые части, но и сами вектора.  Т.е. :

      ,  или

    - т.е. 

 

 -  закон Ома в комплексной форме    -   ,  где

   - комплексное сопротивление ;

вообще   ,  где  

 - активная составляющая сопротивления ,

  - реактивная составляющая

 - модуль полного сопротивления

  - фазовый сдвиг

Комплексная амплитуда тока будет (по правилу деления комплексных чисел) :

 

-  далее переходя к вещественной форме (домножая на  и беря  ) :

 ,

   - причем эти соотношения можно получить прямым решением интегро-дифференциального уравнения

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Аналогично вводится комплексная проводимость :

Обратно,  

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ранее мы нормировали  на  - на амплитудные значения; 

но часто комплексные амплитуды нормируют на действующие значения  - т.е.   ,    

В этом случае можно ввести "комплексную" мощность 

 

 -  где  - разность фаз тока и напряжения ;  тогда :

  - активная мощность в цепи

  - реактивная мощность

 - полная (кажущаяся) мощность

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Для пояснения действия участков цепей и для расчета простейших схем применяют метод векторных диаграмм .

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Обычно - применяют т.н. символический метод - заменяют в рассчитываемой линейной схеме индуктивности и емкости соответствующими комплексными сопротивлениями и далее рассчитывают схему, решая систему линейных алгебраических уравнений, которую составляют на основе законов Ома и Кирхгофа :

  

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример : расчет пускового тока люминесцентной лампы :

------------------------------------------------------------------------------------------------------

На самом деле : почему можно заменять вещественные синусоидальные токи и напряжения комплексными экспонентами ?

- т.к. система предполагается линейной, и при ее прохождении вещественные сигналы остаются вещественными, мнимые - мнимыми (т.к. все операторы, описывающее действие системы на сигналы, - вещественные) :