Кинематика. Скорость. Угловая скорость

Лекция №2

Кинематика.

Введем несколько определений. Материальной точкой будем называть тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с характерными расстояниями в задаче. Из определения следует, что одно и то же тело в некоторых задачах представимо материальной точкой, в других нет. Пример: рассматривая орбитальное движение  Земли вокруг Солнца можно считать Землю материальной точкой, а вот для рассмотрения вращения Земли вокруг собственной оси Землю нельзя считать материальной точкой. Частица - в задачах физики - массивная материальная точка.  Тело отсчета – частица, относительно которой измеряются взаимные расстояния. С телом отсчета центрируется декартова система координат, представляющая собой 3 взаимно перпендикулярных оси, направленных на удаленные неподвижные объекты. После введения системы координат нетрудно описать движение произвольной частицы как изменение декартовых координат со временем – x = x (t), y = y(t), z = z(t). В векторной форме, если задать радиус – вектор частицы  r = r (t) есть совокупность трех координат r = (x, y, z) .

Перемещение D r = r₂ – r₁ - изменение радиус вектора между двумя моментами времени. Если один из моментов времени фиксирован, тогда вектор перемещения с течением времени прочертит траекторию частицы. Очевидно, что такая траектория начнется из точки  1 - D r = 0.

Скорость.

Рассмотрим простейшие движения. Допустим, что перемещения одинаковы за равные интервалы времени D r = v D t , что эквивалентно v = D r /D t . v  называется скоростью. В приведенных условиях v  - скорость равномерного, прямолинейного движения. Покомпонентно v = (D x/D t, D y/D t, D z /D t) = ( v_x , v_y , v_z ) . Модуль скорости, или длина вектора  v = ( v_x² + v_y² + v_z² )^1/2 . Если интервал времени конечен, то  отношение D r /D t представляет собой среднюю скорость на заданном интервале v = v_ср . Пример: средняя скорость участника кольцевых гонок за оборот либо за множество оборотов v_ср = 0.  Можно ввести иное определение средней скорости – например отношение длины отрезка пути к интервалу времени. В таком случае средняя скорость будет не вектором, скаляром.

Определим мгновенную скорость как:

v = lim D r /D t при D t ® 0.

 Как видно из чертежа при бесконечно малых D t D r  приближается к касательной к траектории, следовательно мгновенная скорость направлена по касательной.

v = dr /dt = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = ( v_x , v_y , v_z )

Угловая скорость.

По аналогии с одномерным движением рассмотрим движение по окружности. Его также можно представлять как некоторое подмножество из множества одномерных движений в силу фиксированности радиуса. Определим угловую скорость w = da/ dt = lim D a /D t при D t ® 0 . w - угол пройденный точкой на окружности за единицу времени. Если отнести w  к 2p - углу полного оборота, то n = w /2p  - число оборотов за единицу времени, а T =1 / n  - период обращения. Нетрудно видеть, что малый отрезок дуги окружности ds = R da,

ds / dt  по определению скорость точки, ds / dt  = v = R da/ dt = R w .

Принято обозначать производные по времени точкой над величиной –

v = dr /dt = r ^. = lim D r /D t

Ускорение.

            Будем называть ускорением величину:

a = lim D v /D t = dv / dt = v ^.= d² r / dt²  

Мгновенное ускорение a в общем случае несовпадает с направлением скорости.Удобно ввести продольное относительно направления скорости и поперечное ускорения – соответственно a_|| , a _^ . Если v₂ – v₁|| v₂ , v₁ то изменение скорости D v направлено вдоль скорости и следовательно поперечного ускорения нет - a _^ = 0, существует только продольное ускорение a = dv / dt = a_|| . Нетрудно видеть, что такое движение будет одномерным. Его направление будет совпадать с вектором скорости, т.е радиус вектор r при удачном выборе начала отсчета системы координат r(0)= 0 будет параллелен вектору скорости r || v.