Кинематика точки (неподвижная система координат). Скорость и ускорение точки в естественной системе координат. Скорость и ускорение точки в полярных координатах

§ 2.1. Кинематика точки (неподвижная система координат).

 Скорость и ускорение точки в декартовых координатах

Положение точки М₀ определяем радиус-вектором . Если точка движется относительно системы  отсчета Oxyz, то ее координаты будут функциями времени

Скорость и ускорение точки М в некоторый момент   времени :

Обозначим через S длину дуги траектории, отсчитываемой с соответствующим знаком от первоначального положения точки на траектории :

Тогда, очевидно,   

Годограф.  К началу неподвижной системы координат О приложим вектор ОР, равный по величине и направлению скорости движущейся точки. При движении точки М по ее траектории точка Р описывает некоторую кривую, называемую годографом скорости точки М. Очевидно, скорость точки годографа Р равна по определению ускорению точки М.

§ 2.2. Скорость и ускорение точки в естественной системе координат

Определим орт, он касателен к траектории. Составим отношение . Вектор dt ортогонален к орту t, так как 

;     где k-кривизна траектории, R-радиус кривизны траектории.

Третий орт  определим как

Определим скорость и ускорение точки в естественной системе координат :

;   т.е. 

т.е. 

Из последних соотношений получим формулу :      

§2. 3. Скорость и ускорение точки в полярных координатах

     Положение точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол  как функции времени :

Введем единичный вектор   , направленный по радиус-вектору от полюса О к точке М. Тогда  Для скорости получаем :

     Для производной по времени от единичного вектора имеем :

    После этого для скорости точки в полярных координатах получаем :

Таким образом радиальная и трансверсальная составляющие вектора скорости имеют вид :

     Для ускорения легко получить :

§2. 4. Скорость и ускорение точки в цилиндрических  и сферических координатах

   Положение точки М в пространстве определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени:

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат  Or, Op, Oz выразится в следующей форме:

где  - единичные векторы, направленные по осям цилиндрической системы координат. Оси Or и Op расположены в одной плоскости с осями Ox и Oy.

Представим радиус-вектор  точки М как сумму двух векторов, т.е.

  Скорость точки получим дифференцированием радиус-вектора  по времени:

     Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе скорости точки в полярных координатах. Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор можно вынести за знак производной. В итоге для скорости получается следующее разложение на составляющие осям цилиндрической системы координат:

т.е имеем  Так как составляющие  скорости, параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем:

     Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

    Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах. Во втором слагаемом орт оси z выносим за знак производной. Получим выражение для ускорения точки в составляющих, параллельных осям цилиндрической системы координат:

 Скорость и ускорение точки в сферических координатах

     Сферическими координатами точки М являются величины . Координатной линией для  r является прямая (r) с базисным ортом , координатной линией для  служит параллель сферы с базисным ортом  и координатной линией - меридиан сферы с базисным ортом .

Базисные векторы оказались ортогональными. Декартовы координаты x,y,z точки М через сферические выражаются следующими зависимостями :

    Для скорости и ускорения аналогично цилиндрическим координатам (либо через коэффициенты Ламэ ) можно получить следующие выражения :