Интерполирование кубическими сплайнами

Интерполирование кубическими сплайнами.

Пусть задан набор узлов , который мы будем называть сеткой. Величину   мы будем называть шагом сетки. Кубический интерполяционный сплайн на интервале  с сеткой -  это функция  удовлетворяющая следующим условиям:

1)  - полином третьей степени на каждом из подинтервалов

2) 

3) 

Для построения такого сплайна  нужно определить 4n неизвестных величин- по 4 коэффициента полинома третьей степени на каждом из n

В нашем распоряжении имеются:

3(n-1) условий непрерывности самой функции S(x), её первой и второй производных во внутренних узлах

(n+1)  условие интерполяции

Таким образом, для определения 4n неизвестных величин мы имеем всего                   условий. Недостающие условия определяют различными способами, среди которых могут быть задание на концах интервала  первой или второй производной, либо условия периодичности.

Будем искать кусочно-полиномиальное представление нашего кубического сплайна в виде

  

для x При этом ясно, что

Поскольку S”(x) является линейной функцией на , то её вид полностью определяется двумя её крайними значениями  на концах интервала . Имеем поэтому

для  Отметим, что в этих формулах мы уже задействовали значения  и  второй производной S’’ на левом и правом концах интервала [a,b]. Очевидно, что построенная таким образом функция S’’(x) удовлетворяет условию “непрерывной склейки” в узлах

Беря дважды первообразную от S’’(x), получим

с какими-то константами  и . Но нам будет удобно представить это выражение в виде

 

где  и -так же константы.

       

Окончательно выражение сплайна на интервале   выглядит следующим образом

                                                                                      

 Оно не содержит уже величин , но неизвестными остались   

Чтобы завершить определение вида сплайна, т.е. найти , можно воспользоваться условием непрерывности первой производной S’(x) в узлах :

    .

;

Продифференцировав последние формулы и приравняв производные, полученные для узлов интерполирования с соседних подинтервалов-слева и справа, будем иметь систему уравнений

 

Это система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных , c трёхдиагональной матрицей

СЛАУ с трехдиагональной матрицей решаются методом прогонки:

Система уравнений  равносильна соотношению

Метод прогонки основывается на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

  где

 

Используя это соотношение, выразим  и  через  и подставим в уравнение (1):

,

где  — правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать

Отсюда следует:

Из первого уравнения получим:

После нахождения прогоночных коэффициентов α и β, используя уравнение (2), получим решение системы. При этом,

   

Получили:  

Методом прогонки нашли значения коэффициентов , i=0,1,…,n.

Подставляем их в

;

Для построения более точного графика кубического сплайна будем разбивать каждый   на n отрезков и строим сплайн на каждом

Строим график сплайна для функций:

1.