Длинная линия. Телеграфные уравнения

Длинная линия. Телеграфные уравнения.

Ранее предполагалось наличие элементов только с сосредоточенными R, L, C.

Но : R, L, C могут быть "размазаны" по электрической цепи - т.е. могут присутствовать элементы с распределенными параметрами - в частности, длинные линии :

                   R , L , C , Y

        или            

Решение - в виде комплексных экспонент - гармонических волн с амплитудами  (прямая волна) и  (обратная волна) :

         , где 

  - постоянная распространения в линии

  - волновое сопротивление

 - постоянная затухания в линии - т.е. (длина линии)^-1, на которой амплитуда волны падает в  раз

 - фазовая постоянная  - т.е. (длина линии)^-1, на которой фаза меняется на 1rad.

Переходя от  и  к  и  

 

- где  и   - комплексные амплитуды прямой и обратной волн

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Условия прохождения сигналов по линии без искажений :

1) одинаковая задержка для всех гармонических волн - т.е. независимость фазовой скорости от частоты :

 (т.е. при ) Þ  - отсутствие дисперсии

2) одинаковое затухание всех частот (сигнал как целое уменьшается в раз) - т.е.

Простейший случай - линия без потерь -   и   Þ

- когда , , 

 - чисто вещественное

Т.о. фазовые скорости прямой и обратной волн   не зависят от частоты, а амплитуды не зависят от  .

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Отражение волны от нагрузки. Соотношение амплитуд прямой и обратной волн.

На конце линии  Þ       

     Þ   

    - коэффициент отражения волны напряжения                  

   - коэффициент отражения волны тока

Три важных крайних случая :

1)  Þ   ,    и    - есть только прямая волна, полностью поглощаемая нагрузкой - нет отражения - т.н. согласованная нагрузка

2)  Þ  ,    и   - при разомкнутом конце линии (режим х.х.) амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей; фаза напряжения при отражении сохраняется, а тока обращается на 180^° (инвертируется) Þ напряжение на конце линии имеет удвоенную амплитуду, а ток равен 0.

В самой линии - т.н. стоячая волна :

- ток и напряжение в любой точке (по x) сдвинуты на 90^° - нет передачи энергии (есть зоны с  или с  )

3)  Þ  ,    и    - напряжение на конце линии 0, а ток - удвоенный (режим к.з.) :

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Более общие случаи :

4)  Þ  ,    

Вводят    ;        

 для       

5)  Þ  , 

   для       

6) В общем виде для произвольной нагрузки  имеем комплексный коэффициент отражения       и  

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Входное сопротивление линии для синусоидального (стационарного) сигнала :

 - на расстоянии x=l от конца для линии длиной l   Þ

Три основных случая :

1)    Þ    и 

2)   Þ    и             ;    

3)   Þ    и    

Линия фиксированной длины - аналог контура без потерь, но с множеством резонансов :

Þ длинная линия, аналогично колебательному контуру, может быть трансформатором ток-напряжение или напряжение-ток.

При подключении чисто реактивной нагрузки происходит смещение нулей и максимумов   и  ; при чисто активной (но ) появляется "конечная добротность" - в линии есть и бегущая, и стоячая волны,  и  нигде не обращаются в 0 или в ¥ , а сами  и становятся комплексными.

В частности

 при   - не зависимо от  - т.н. полуволновая передающая линия

 при   - трансформатор  - т.н. четвертьволновой трансформатор

Применение длинных линий : частотно-избирательные цепи, согласующие трансформаторы, четвертьволновые изоляторы, линии задержки, передача сигналов и ВЧ-энергии.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Переходные процессы в линии.

Пусть в  включаем источник - мгновенный скачек напряжения и в линии возникает волна напряжения и тока; скорость волны  .

За время  в линию втекает заряд        

откуда  

Мощность, отдаваемая источником     

Эта мощность равна энергии, запасаемой за единицу времени в  и линии за счет продвижения волны :

     Þ        Þ 

т.е. в начале процесса входное сопротивление линии равно ее волновому сопротивлению (и не зависит от )

Если

то в начальный момент   - делитель

Если источник согласован с линией и  - то  - возникает волна с амплитудой  :

Далее все зависит от нагрузки линии :

1)   - нет отражения, и на линии устанавливается   - то же, что и на постоянном токе

2)   - волна напряжения отражается без инверсии, тока - с инверсией - т.е. после отражения линия заряжается до , а ток в ней исчезает :

По достижению отраженной волной источника она поглотится сопротивлением , ток исчезнет во всей линии, а напряжение везде будет 

3)  - к.з. линии - волна напряжения отражается с инверсией, тока - без :

По достижению отраженной волной источника она поглотится , ток во всей линии станет , а напряжение везде будет  0.

4) Если нагрузка  конечная и  - то после поглощения отраженной волны в линии установится ток  и напряжение

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Если нагрузка и источник не согласованы с линией, то возникают многократные затухающие отражения - и только постепенно (в пределе) устанавливаются     и   Þ при передаче сигналов для предотвращения искажения их формы из-за отражений применяют согласованные линии - хотя бы с одной стороны (в идеале - с двух сторон)

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример применения - формирование прямоугольных импульсов :

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Конструкции линий :

1) Двухпроводная

обычно         

Варианты - "витая пара", симметричная полосковая линия, т.д.

2) Коаксиальная

                       

  - для полиэтилена

------------------------------------------------------------------------------------------------------