Диаграмма Вышнеградского. Стабилизация радиального положения пучка в протонном синхротроне ТРАПП

Диаграмма Вышнеградского [1, с.220].

          Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка:

.

Нормированное уравнение:

. Здесь , , , .

Параметры А, В называются параметрами Вышнеградского.

Условия устойчивости системы третьего порядка были сформулированы Вышнеградским в 1876 году (критерий Гурвица сформулирован в 1895). Эти условия имеют вид: , , .

Уравнение границы колебательной устойчивости:  – равнобокая гипербола. Ниже изображена диаграмма Вышнеградского.

В точке С, где ,  характеристическое уравнение принимает вид .

В этой точке для исходного уравнения .

Внутри области III дискриминант  (область трёх вещественных корней). В области I пара комплексных корней лежит ближе к мнимой оси, чем вещественный корень, в области II – наоборот. На границе между этими областями все три корня лежат на одинаковом расстоянии от мнимой оси. Уравнение этой границы можно найти, положив значения корней , :

.

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях даёт:

, , .

Исключая  и , имеем:

, .

Стабилизация радиального положения пучка в протонном синхротроне ТРАПП.

          Уравнение движения пучка при наличии обратной связи:

Динамика пучка самого по себе (объекта регулирования) описывается уравнением:

, .

Здесь все возмущения (среднего магнитного поля, частоты и амплитуды ускоряющего напряжения приведены к возмущению частоты, или – к эквивалентному возмущению равновесного радиуса орбиты). Далее, для простоты, .

Петля по  реализована как петля обратной связи по отклонению фазы пучка от равновесной фазы. Во-первых, это возможно в силу того обстоятельства, что , во-вторых, технически проще обеспечить широкую полосу пропускания этого тракта. Коэффициент передачи разомкнутой системы:

.

Характеристическое уравнение:

.

Критерий Рауса-Гурвица даёт:

, , .

На плоскости параметров (,), в пределах области устойчивости, корни характеристического уравнения имеют вид (, ):

.

Структуру области устойчивости удобно описывать параметрическими соотношениями, являющимися результатом приравнивания коэффициентов уравнений :

.

Ниже изображена структура области устойчивости.

Если , то темпы ликвидации отклонения и подавления колебаний равны, и можно говорить об общем темпе стабилизации радиального положения пучка.

Равенство  имеет место на следующей кривой:

.

На этой кривой , т.е. ,  и декремент  прямо пропорциональны коэффициенту о.с. по фазе. Замечательным обстоятельством является то, что по мере увеличения ,  вначале увеличивается, а затем должно уменьшаться.

В точке, где ,  достигает значения . Соответствующий декремент  является в данном случае максимальным декрементом. Т.е. не существует других корней характеристического уравнения, чтобы абсолютные значения действительных частей всех из них были бы больше, чем .

Таким образом, максимальный темп стабилизации радиального положения пучка имеет место при следующих (оптимальных) значениях параметров петель о.с.:

, ,

когда все три корня характеристического уравнения одинаковы.

При  и  соответствующие декременты имеют следующую величину:

.

Таким образом, о.с. по “радиальному положению”, как ей и положено, подавляет отклонение равновесного радиуса, но при этом, в отсутствие о.с. по фазе (или, если угодно, по , что физически то же самое), раскачивает синхротронные колебания.

Ниже изображена динамика системы при инжекции пучка с неравновесной энергией (), при равновесной () и неравновесной () частоте ускоряющего напряжения (кривые  и , соответственно). Видно, что система о.с. достаточно быстро стабилизирует радиальное положение пучка, не позволяя ему покинуть пределы апертуры , при отклонениях энергии пучка и частоты ускоряющего напряжения, соответствующих радиальному смещению пучка почти до границ этой апертуры.

Ниже изображена реакция системы на ступенчатый сигнал управления радиальным положением пучка.