Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость

§ 2.5. Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость.

            Дополнительно к неподвижным осям Oxyz (система S) введем в рассмотрение некоторое подвижное твердое тело и неизменно связанную с ним систему прямоугольных осей координат O’x’y’z’ (система S’).

            Движение точки относительно подвижной системы осей S’ называется относительным движением.

            Движение точки относительно неподвижных  осей S называется абсолютным движением.

            Переносным движением точки за интервал времени (t,t+Dt) называется то движение по отношению к осям S, которая эта точка имела бы, если бы в момент времени t и на интервал (t,t+Dt) она была неизменно связана с подвижной системой осей и, следовательно, перемещалась бы вместе с этой системой.

            Траектория, скорость и ускорение называются абсолютными, относительными или переносными, смотря по тому, относятся ли они к движению абсолютному, относительному или переносному.

            Теорема Эйлера: Если относительно системы S система S' имеет одну неподвижную точку, то перемещение S' из одного произвольного положения в любое другое может быть совершено одним поворотом на определенный угол относительно оси, проходящей через эту неподвижную точку.

            Для доказательства достаточно показать возможность перевода одним поворотом дуги, например, .

	è
		Проведем два экватора: a, перпендикулярный середине x1'x2', и b, перпендикулярный середине z1'z2'. Получим две точки пересечения этих экваторов – с и d. Dx1'z1'd = Dz2'x2'd (так как x1'z1' = x2'z2',  а x1'd = x2'd в силу того, что точка d лежит на экваторе, перпендикулярном середине x1'x2', z1'd = z2'd по той же причине) Таким образом, Ðx1'dz1' = Ðz2'dx2'  и угол между дугами x1'd и x2'd равен углу между дугами z1'd и z2'd, то есть нужно повернуть x1'z1' относительно оси dO'c на угол x1'dz1' (или равный ему z2'dx2')

            Теорема Эйлера справедлива и для конечных поворотов и для бесконечно малых. Хотя последовательность бесконечно малых поворотов может быть любой – результат будет тем же, конечные же повороты не коммутируют. Это тем более справедливо для бесконечно малых поворотов, чем ближе дуги, описываемые какой-либо точкой, к хордам, соединяющим концы дуг.

            При рассмотрении задач о движении тела с одной закрепленной точкой, которые имеют большое практическое значение, для определения (фиксации) положения системы S' относительно S широко используются три угла Эйлера.

Пересечение плоскостей O'xy и O'x'y' дает прямую, которую называют линией узлов (орт линии узлов - ). Первый угол Эйлера j - угол между осью O'x и линией узлов. Второй угол y - угол между линией узлов и осью O'x'. Третий угол q - угол между осями O'z и O'z'.

Эти три угла однозначно определяют положение системы S' относительно S

            Таким образом, при бесконечно малом повороте системы S' относительно S на углы dj,dy,dq (некоторые из них могут быть равными нулю) их можно заменить одним поворотом на угол dc вокруг некоторой оси, проходящей через точку O'.

            Введем в рассмотрение вектор бесконечно малого поворота:

 (здесь направлен по оси вращения по правилу правого винта)

            Величина и направление вектора dc при сложном движении могут изменяться. Ось  называется осью мгновенного вращения. Посмотрим, что происходит с ортами системы S' при ее повороте на угол

Угловую скорость вращения  определим следующим образом , угловое ускорение Тогда , а также ,  (2.5.1)

§ 2.6. Сложное движение точки.

Рассмотрим движение точки по траектории в пространстве (точка находится в положении М). Будем рассматривать параметры ее движения из неподвижной системы Oxyz и подвижной системы O'x'y'z' (начало отсчета О' может двигаться поступательно и система O'x'y'z' может совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О' с угловой скоростью  и угловым ускорением ). Радиус-векторы точки в системах отсчета Oxyz, O'x'y'z', а также радиус-вектор начала отсчета О' в системе Oxyz связаны соотношением:

продифференцировав это соотношение по времени, получим:

 - абсолютная скорость точки (относительно системы S),

 - скорость начала координат  S' относительно S,

 не является скоростью точки М относительно системы S', так как орты этой системы являются функциями времени.

,

используя формулы (2.5.1) будем иметь:

Последнее слагаемое означает, что производная берется при неизменных ортах системы O’x’y’z’,  .

Теперь для скоростей имеем:

здесь v^h-переносная, v – абсолютная, v’ – относительная скорость точки, то есть получена связь этих скоростей. Переносная скорость состоит из двух слагаемых: первое присутствует в том случае, если подвижная система отсчета движется поступательно, второе появляется в том случае, если подвижная система отсчета совершает вращение.

Для получения связи ускорений продифференцируем по времени соотношение для скоростей:

- абсолютное ускорение, - ускорение начала координат S’ относительно S.

Используем соотношение , ранее полученное для  и справедливое для любого вектора, разлагаемого по ортам S’, которая вращается относительно неподвижной системы отсчета.

или

здесь переносное ускорение состоит из трех компонент (), первая имеет место, если подвижная система отсчета движется поступательно и при этом неравномерно, вторая появляется при неравномерном вращении подвижной системы отсчета и третья, называемая центростремительным ускорением, присутствует всегда, если подвижная система отсчета просто вращается.

Кориолисово ускорение () присутствует у точки при двух условиях: если подвижная система отсчета вращается и точка движется относительно подвижной системы отсчета и вектор  не параллелен вектору .

Кориолисово ускорение на Земле действует на тело, движущееся по поверхности всегда за исключением экваториальной области при движении С « Ю ( параллельно ) или если v’=0 или w=0, первое имеем для всех неподвижных тел. Даже на неподвижное тело действует ускорение , равное по модулю w²r, где r - расстояние от точки до оси вращения, т.е. вес тела зависит от широты (w²r=(7 x 10^-5)² x 6.3 x 10⁶=0.03 м/с²»0.3% от g).

a = 45^o

v’ = 1 м/с

w = 0.00007 рад/с

m = 75 кг

F^c = -ma^c=-2mwv’Sina=10^-4 H