Движение точки под действием центральной силы. Законы Кеплера

§3.13 Движение точки под действием центральной силы. Законы Кеплера.

Секторная скорость, теорема площадей

            Секторной скоростью точки или  относительно центра О называют векторную величину, определяемую по формуле

-вектор, численно равный заштрихованной на рисунке площади, заметаемой радиус-вектором  движущейся точки за время Dt, направление вектора  берется перпендикулярно плоскости движения по правилу правого винта. Секторная скорость перпендикулярна плоскости движения и приложена в точке, относительно которой она вычисляется.

Тогда ,

то есть

Направление вектора  также соответствует правилу векторного произведения, так что

Согласно этому теорему об изменении кинетического момента точки можно записать в виде:

Центральной называют силу, действующую на точку, линия действия которой при движении точки все время проходит через некоторую неподвижную точку – центр силы. Центр силы может быть как притягивающим, так и отталкивающим.     Для центральной силы ее момент относительно ее центра всегда равен нулю и

            В проекциях на декартовы оси координат имеем:

здесь С₁,С₂,С₃ – константы.

            Умножая первое соотношение на x, второе – на y, третье – на z и складывая, получим:

С₁x+С₂y+С₃z=0;

то есть координаты движущейся точки x,y,z удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через начало координат О.

            Траектория точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской кривой, лежащей в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы.

            Так как , то  и

 или .

            Эта формула выражает интеграл площадей: при движении точки под действием центральной силы секторная скорость является постоянной величиной и, следовательно, заметаемая радиус-вектором площадь пропорциональна времени.

            Сравним это со вторым законом Кеплера: «Секторная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна».

            Поместим начало координат в центр силы и запишем законы сохранения кинетического момента и механической энергии: 

            Введем на плоскости, в которой происходит движение, полярные координаты и перепишем эти законы сохранения в виде:

            Эти выражения часто называются интегралом площадей и интегралом энергии. Исключая  из интеграла энергии с помощью интеграла площадей получим:

            Разделив в этом уравнении переменные после интегрирования будем иметь:

         (3.13.1)

            Из этого выражения в принципе можно определить зависимость r = F(t).

            Из интеграла площадей также можно получить, что  ( имеет постоянный знак, зависящий от знака L₀, что означает, что полярный угол меняется монотонно) и после разделения переменных и интегрирования иметь:

            Интеграл момента позволяет найти уравнение траектории, если с его помощью в интеграле энергии исключить dt, а затем вычислить квадратуру:

     (3.13.2)

            Выбор знаков в (3.13.1) и (3.13.2) диктуется начальными условиями, в частности, знак в (3.13.1) определяется знаком  в начальный момент времени.

            Таким образом, мы получили общее решение задачи движения точки в поле центральной силы. Оно справедливо для любой центральной силы, зависящей только от расстояния до центра силы.

            Для вывода первого и третьего законов Кеплера потенциальную энергию возьмем в виде:

 (здесь  для гравитационного поля и  для электростатического поля).

            Подставляя в уравнение траектории (3.13.2) указанную зависимость потенциальной энергии от расстояния до центра силы и проводя несложные преобразования, перепишем это уравнение в виде:

здесь знак “+” под интегралом соотвествует случаю a > 0 (сила притяжения) и знак “-” соответствует случаю a < 0 (сила отталкивания).

            Вводя вместо постоянных E₀ и L₀ положительные по определению постоянные  и перепишем это уравнение в виде:

и в результате интегрирования получим:

            Опуская знак “-” перед j в виду четности косинуса получим окончательно уравнение орбиты:

               (3.13.3) ;

где по прежнему знак “+” имеем для a > 0 и знак “-” для a < 0. Величина p называется параметром орбиты, а e - эксцентриситетом орбиты. Если полярную ось направить к ближайшей к центру силы точку траектории, const=0.

            Из аналитической геометрии известно, что уравнение (3.13.3) при e>1 является уравнением гиперболы (это соответствует случаю E₀ > 0 – точка приближается к центру силы из бесконечности, где имеет положительную начальную скорость), при e=1 является уравнением параболы (случай E₀ = 0 – точка приближается к центру силы из бесконечности, где имеет нулевую начальную скорость) а при e<1 – эллипсом. Последний случай соотвествует ситуации, когда E₀ < 0 (точка не можен уйти на бесконечность и движется в некоторой окрестности центра силы). Это как раз и является первым законом Кеплера: «Планеты движутся по эллиптическим траекториям в одном из фокусов которых находится Солнце». Следует отметить, что на самом деле планеты движутся по эллиптическим траекториям в одном из фокусов которого находится центр масс солнечной системы.

            При движении по эллипсу минимальное и максимальное расстояние до центра силы равны:

а для полуосей эллипса из аналитической геометрии имеем:

 то есть

то есть большая полуось орбиты зависит от полной энергии E₀ и не зависит от начального значения кинетического момента точки L₀.

            Запишем еще раз кинетический момент точки через секторную скорость:

            Разделяя переменные, интегрируя это выражение по полному периоду обращения и учитывая, что площадь эллипса равна pab, найдем

;

            А это и есть третий закон Кеплера (пропорциональность квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца кубам больших полуосей орбит).