Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

14.3.2.   Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

          Пусть правильная в направлении Oz область V ограничена снизу и сверху непересекающимися поверхностями  и ,  а с боков – цилиндрической поверхностью F(x,y)=0 c образующими, параллельными оси Oz, т.е.

, где S- проекция V на плоскости Oxy.

Теорема 14.4. Пусть:1) в области задана функция f(x,y,z), интегрируемая по Риману, т.е. существует тройной интеграл ;  2) существует повторный интеграл  .  Тогда справедлива формула

                                                                      (3.4)

Замечание. Цилиндрическая поверхность , ограничивающая V, может частично или полностью вырождаться в пространственную линию.

Задания. Записать формулы, связывающие тройной интеграл с повторным, в случаях, когда: 1) область V правильная в направлении Ox проецируется на плоскость Oyz;  2) область V правильная в направлении Oy  проецируется на плоскость Oxz.

Пример 11. Вычислить , где область V ограничена

поверхностями: .

Ñ Поверхности и  есть параболические цилиндры с образующими, параллельными  - плоскости. Область V – правильная в направле-

			Рис.14.16
	Рис.14.15

 

нии Oz, а потому  для точек, принадлежащих V (рис.14.15).

Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограниченная линиями  и  (рис.14.16), а потому, например (см.(2.1)),  и в силу (3.2) . Тогда по  формуле (3.4)  = =

==½см. (2.3)½= = = #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

47.  .

48. ,  W - область, ограниченная плоскостями ,

      .

49.  , V – область, ограниченная гиперболическим параболоидом   и плоскостями .

50.  , V – область, ограниченная цилиндром  и плоскостями    и .

51.   , V – область, ограниченная поверхностями   .

14.3.3  Замена переменных в тройном интеграле

          Пусть функции  осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области W из пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение    области V на область W, если якобиан преобразования

                                     .

          Величины u,v,w можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области W и в то же время как криволинейные координаты точек области V. Точки пространства Oxyz , для которых одна из координат u, v, wсохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет три семейства таких поверхностей.

          Теорема 14.5. Пусть , ,  есть диф-ференцируемое преобразование области W из пространства Ouvw в область V из пространства Oxyz. Тогда

        .  (3.5)

Замечание. Последнее равенство сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями V и W нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий, или на отдельных поверхностях.

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам

Формулы   преобразуют цилиндрические координаты   точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область изменения криволинейных координат   (или ) на все пространство Oxyz. Геометрически: r- радиус-вектор OM точки P – проекции точки M на плоскость Oxy; j- угол между Ox и OP; z- ап-
                 Рис. 14.17.                         пликата точки M (рис. 14.17).

          Обратное преобразование задается формулами:

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: круговой цилиндр с осью Oz, полуплоскость, исходящую из оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости Oxy (рис.14.17).

Рис.14.17

Якобиан преобразования

При переходе в тройном интеграле к цилиндрическим координатам формула (3.5) примет вид0

                                ,                (3.6)

где W - область изменения цилиндрических координат точек области V из Oxyz.

Переход к сферическим координатам

Формулы      ,  ,   преобразуют сферические координаты   точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область (или    ) изменения сферических координат на все пространство Oxyz.

Геометрически: r - радиус-ветор OM точки M; j- угол между осью Ox и проекцией радиус-вектора r на плоскость Oxy; y- угол между осью Oz  и радиус-вектором r, отсчитываемый по ходу стрелки часов (рис.14.18). Обратное преобразование имеет вид

                             ,  ,

                            ,  

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус, соответственно (рис.14.18).Якобиан преобразования

             .

Рис.14.18

 При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам справедлива формула:

,    (3.7)

где W - область изменения сферических координат точек области V из Oxyz.

Пример 12. Вычислить тройной интеграл  , где .

Ñ Область V ограничена полусферой  и полуконусом  (рис.14.18). Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам:  ,  при этом . Неравенства, описывающие V , преобразуются: а)

б) .

Так как нет ограничений на , то . В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть  (этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле (3.7) =½повторный интеграл "расщепился" в произведение определенных интегралов ½=

 =. #

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром и плоскостью .

Ñ Тело V и проекция его на плоскость Oxy - круг радиуса R изображены на рис.14.19 и 14.20. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам  по формулам . Поверхности, ограничивающие V преобразуются: а) , б) ,  в) z=a. Так как нет ограничений на координату , то  (или .Область интегрирования в цилиндрических координатах есть  .

Рис.14.20

Рис.14.19

Тогда по формуле (3.6)  = =  == = ==. #

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в тройном интеграле  к цилиндрическим координатам  или сферическим координатам  и расставить пределы интегрирования:

52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями , .

53. V – область, ограниченная поверхностями .

54. .

55. .

Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить интегралы: