Глава 1. Действительные функции одного переменного.
1.1. Основные понятия и определения.
1°. Понятие функции состоит из трех частей: 1) области определения D; 2) множества T, содержащего область значений E; 3) правила, которое для каждого элемента из области D задает единственный элемент из области T.
2°.
Для функций действительного переменного их области определения D и
области значений E принадлежат множеству действительных чисел R.
Если обозначить функцию символом f, а элементы D и E-
символами x и y , то функция f сопоставляет по
определенному правилу каждому элементу единственное
значение
, что записывается в виде:
или
.
По традиции x называют независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной — функцией. Иногда функцию обозначают тем же символом, что и значение и пишут y=y(x).
3°. Способы задания функций:1) аналитический (т.е. математической формулой, называемой аналитическим выражением и дающей возможность вычислить значение функции); 2) графический; 3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.
4°.
Функция определена для , если значение f(x)
конечное и вещественное. Множество значений x, для которых функция
определена, образует область определения (область существования)
. В простейших случаях D есть
открытый промежуток (интервал) (a;b): a < x <
b, или полуоткрытые промежутки [a,b): a £
x < b, (a,b]: a < x £
b, или закрытый промежуток (отрезок, сегмент) [a,b]: a £
x £ b, где a и b-
некоторые числа или символы -¥ и + ¥
(в последних случаях равенства исключаются). Если функция задана аналитически и
об области определения ничего не сказано, то ее считают множеством всех чисел,
при которых формула, задающая значение функции, имеет смысл и называют естественной
областью определения функции D(f).
5°.
Множество всех значений, которые функция принимает на элементах своей области
определения, есть область значений .
6°.
Считая, что x - некоторая точка М числовой оси, а соответствующее
значение y=f(x) – точка другой
числовой оси, функцию называют отображением. Тогда точка
- образ точки М, а точка М-
прообраз точки
.
7°.
Сложная функция. Если функция y=f(u) отображает
область определения E в область значений L, а функция u=g(x)
отображает свою область определения D в область значений , при этом
, тогда сложная
функция
y=f (g(x)) (1.1)
отображает D в L.
Запишем иначе: если и
, где
, то сложная функция
(1.2)
Из (1.1) и (1.2)
следует т.е. функция
реализует
идею: “ применяй g, затем применяй f ”.
8°.
Неявная функция. Пусть дано уравнение вида и
пусть существует такое множество X,
что для каждого
существует по крайней мере одно
число y, удовлетворяющее уравнению
. Обозначим одно из таких чисел через
и поставим его в соответствие числу
. В результате имеем функцию f , определенную на множестве X и такую, что
для всех
. В этом
случае говорят, что функция f задается неявно уравнением
. Уравнение
может
задавать не одну, а некоторое множество неявно заданных функций.
9°.Основные
элементарные функции: постоянная y = C (C – const); степенная ; показательная
(a > 0); логарифмическая
, (a > 0,
);
тригонометрические
,
;
обратные тригонометрические
,
,
.
10°. Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций (суперпозиций) основных элементарных функций.
11°.
Классы элементарных функций.1) Целые рациональные функции:
,
. Сумма, разность и произведение целых
рациональных функций есть целая рациональная функция.
2) Дробные
рациональные функции: .
Заметим, что класс целых рациональных функций содержится в классе дробных рациональных функций.
3) Алгебраические функции: между y и x существует зависимость вида
, где
-многочлены относительно x; при этом
y удовлетворяет определенным требованиям. Классы 1), 2) содержатся в
классе алгебраических функций.
4)Трансцендентные функции – это всякие функции, не являющиеся алгебраическими. Можно показать, что показательная, логарифмическая, прямые и обратные тригонометрические функции являются трансцендентными.
Пример. Определить область определения функций:
а) ; б)
.
Ñ
а) Так как функция arcsinx определена при , а функция lgx – при x>0,
то x должен удовлетворять нескольким условиям одновременно, т.е.
получается пересечением множеств:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.