Вопросы к экзамену по математическому анализу
ФФ НГУ 1 курс, осенний семестр 2007 года
1. Предел последовательности. Арифметические и порядковые свойства предела.
2. Теорема Дедекинда (без доказательства). Инфимум и супремум. Теорема о существовании точных границ. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
3. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.
4. Теорема об односторонних пределах монотонной функции. Условие непрерывности монотонной функции. Теорема о непрерывности обратной функции.
5. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении. Описание области значений строго монотонной непрерывной на промежутке функции.
6. Теорема Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
7. Непрерывность прямых тригонометрических функций. Первый замечательный предел. Производные прямых тригонометрических функции.
8. Непрерывность показательных, логарифмических и степенных функции. Второй замечательный предел. Производные показательных, логарифмических и степенных функций.
9. Производная. Уравнения касательной и нормали к графику. Арифметические правила дифференцирования.
10. Дифференцирование сложной и обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
11. Дифференцирование параметрически и неявно заданных функций.
12. Непрерывность и дифференцирование вектор-функций скалярного аргумента. Производные скалярного, векторного и смешанного произведений переменных векторов.
13. Теорема Ферма о производной в точке-экстремума. Её применение к поиску наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.
14. Теорема Ферма о производной в точке экстремума. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о конечном приращении. Условия монотонности дифференцируемой функции.
15. Критические точки и необходимое условие локального экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума в терминах первой и второй производных.
16. Выпуклые функции и неравенство Иенсена. Условия выпуклости дифференцируемой функции. Точки перегиба.
17. Лемма о направлении входа графика в особую точку. Первое правило Бернулли – Лопиталя.
18. Лемма о направлении ухода графика на бесконечность. Второе правило Бернулли – Лопиталя.
19. Символы «о-малое» и «О-большое». Лемма о порядке бесконечно малой дифференцируемой функции. Локальная формула Тейлора.
20. Пять основных асимптотических формул (экспонента, синус, косинус, логарифм, общая степенная функция).
21. Техника асимптотических разложений: арифметические операции над асимптотическими формулами, разложение сложной функции, дифференцирование и интегрирование разложений.
22. Сумма бесконечного ряда чисел. Ряд Тейлора. Интегральная формула для остатка Тейлора. Формулы Лагранжа и Коши. Разложение в степенной ряд экспоненты, синуса и косинуса.
23. Сумма бесконечного ряда чисел. Ряд Тейлора. Интегральная формула для остатка Тейлора. Формулы Лагранжа и Коши. Разложение в степенной ряд логарифма (логарифмический
ряд) и общей степенной функции (биномиальный ряд Ньютона).
24. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов. Интегрирование по частям. Формула замены переменной.
25. Разложение рациональной функции на простейшие дроби. Интегралы простейших дробей. Метод Остроградского.
25. Общая схема «рационализации» интеграла. Дробно-линейные иррациональности. Квадратичные иррациональности и подстановки Эйлера. Биномиальные дифференциалы и три случая Чебышева. Рационально – тригонометрические выражения.
26. Дифференциальные уравнения первою порядка. Понятие решения. Уравнения с
разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные
уравнения. Метол вариации постоянной.
27. Комплексная экспонента, ее основные свойства. Однородные линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (свободные колебания).
Формулы для решении в комплексном и вещественном случаях.
28. Комплексная экспонента, ее основные свойства. Неоднородные линейные
дифференциальные уравнения второю порядка с постоянными коэффициентами
(вынужденные колебания). Формулы для комплексных решений. Метод комплексной
амплитуды. Формулы для вещественных решений.
29. Одномерное уравнение Ньютона: фазовые линии, закон сохранения энергии, вид фазовых
линии около устойчивых и неустойчивых точек покоя, построение фазового портрета по
графику потенциальной энергии.
30. Общие свойства интеграла Римана: линейность, аддитивность, монотонность, оценки среднего значения.
31. Взвешенное среднее. Интегральная теорема о среднем значении.
32. Построение первообразной с помощью интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.
33. Дифференцирование интеграла с переменными пределами интегрирования. Формула интегрирования по частям и формула замены переменной для определенных интегралов.
34. Несобственные интегралы, их общие свойства. Интегрирование по частям, замена переменных и формула Нютона – Лейбница для несобственных интегралов.
35. Несобственные интегралы. Критерий Коши и признак Вейерштрасса сходимости несобственного интеграла. Интегрируемость эквивалентных знакопостоянных функций. Условия интегрируемости степенных особенностей.
36. Несобственные интегралы. Признаки Дирихле и Абеля. Абсолютная и условная сходимости несобственного интеграла. Пример: интеграл Дирихле.
37. Гамма-функция. Формула понижения. Значения для целого аргумента. Формула дополнения и значения гамма-функцпи для полуцелого аргумента. График гамма-функции. Асимптотика гамма-функции, или формула Стирлинга (без доказательства).
38. Бета-функция. Представление интегралом по положительной полупрямой. Выражение бета-функции через гамма-функцию.
39. Геометрические приложения интеграла: длина линии, площадь области, площадь поверхности вращения, объем тела вращения. Механические иллюстрации.
40. Внутренность и замыкание множества в арифметическом пространстве. Открытые и замкнутые множества. Непрерывные прообразы открытых и замкнутых множеств. Множества, определяемые неравенствами.
41. Ограниченные множества в арифметическом пространстве. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Компактные множества. Компактность как ограниченность и замкнутость. .Многомерная теорема Вейерштрасса.
42. Связные множества. Выпуклость и связность. Многомерная теорема Больцано - Коши.
43. Частные производные. Гладкие функции. Теорема о выделении линейной части приращения гладкой функции. Полный дифференциал. Арифметические правила вычисления частных производных и дифференциалов.
44. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Однородные функции и тождество Эйлера.
45. Производная по вектору. Теорема о дифференцировании по вектору гладкой функции. Градиент. Геометрическая характеристика его направления и длины.
46. Частные производные высших порядков. Симметричность смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
47. Значение дифференциалов высших порядков на векторе как результат дифференцирования вдоль этою вектора. Многомерная формула Тейлора.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.