Математика \ Математический анализ

Вычисление КИ-2. Независимость КИ-2 от пути интегрирования

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Вычисление КИ-2. Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: , где - непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от к кривая описывается именно от точки A к точке B, то

(5.5)

причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.

Следствия.

а) Для плоской линии AB: и функций , : .

б) Для заданной явно плоской линии

. (5.6)

Независимость КИ-2 от пути интегрирования

Теорема 14.8. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:

1) , где l – замкнутый контур, лежащий внутри V;

2) не зависит от выбора пути интегрирования;

3) есть полный дифференциал некоторой однозначной функции , заданной в точках V;

4) выполняются равенства: .

Функция может быть найдена, например, по формуле

(5.7)

где - некоторая фиксированная точка области V, c – произвольная постоянная.

Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы . Тогда

Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть: 1) функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области ; 2) l– кусочно-гладкий контур, ограничивающий область , и при положительном обходе lближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:

Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром l, равна

Пример 20. Вычислить КИ-2: , где L – дуга параболы , проходимая от точки до точки .

Ñ Кривая l представлена на рис.14.24.

Рис.14.24

По формуле (5.6) имеем

. #

Пример 21. Вычислить КИ-2: , где l – замкнутый контур, полученный пересечением сферы и цилиндра , обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25).

Рис.14.25

Ñ Для вычисления КИ-2 представим l в параметрической форме. Поверхность

запишем в виде

.Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например,

. Тогда из уравнения сферы имеем

= =

. Отсюда, помня, что

, имеем

. Итак,

;

. По формуле (5.5)

=.#

Пример 22. Найти первообразную функции , если .

Ñ По формуле (5.7) при получим

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы второго рода:

97. , где l – отрезок прямой от точки пересечения ее с осью Ox до точки пересечения с осью Oy.

98. , где l – контур прямоугольника с вершинами , указанными в порядке обхода l.

99. вдоль линий: 1) , 2) , 3) , 4) .

100. , l – эллипс , обходимый в положительном направлении.

101. , где l – первая от начала координат арки циклоиды , .

102. , где l – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4).

103. , где l – дуга винтовой линии .

104. , где l – линия пересечения сферы и цилиндра () , обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани).

Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2:

105. . 106. . 107. .

108. (контурное интегрирование не пересекает поверхность .

Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу:

109. .

110. .

111. .

112. .

113. . 114.

С помощью формулы Грина вычислить КИ-2:

115. , где l – окружность .

116. , где l – эллипс .

117. Вычислить , где l – простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура l; 2) контур l окружает начало координат.

118. В каждой точке эллипса приложена сила , равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу при перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса.

119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz , перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по окружности от точки до точки . Указание. .

14.6. Поверхностные интегралы

14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация

Гладкая поверхность s называется двусторонней поверхностью , если при возвращении в исходную точку после обхода замкнутого контура , лежащего на s и не имеющего общих точек с ее границей, направление нормали к поверхности не меняется.

Совокупность всех точек поверхности с приписанными в них по указанному правилу нормалями называется определенной стороной поверхности.

Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. Выбранная сторона - это положительная сторона поверхности. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя сторона.

Если s задана неявным уравнением , то сторона характеризуется одним из единичных нормальных векторов

. (6.1)

Если s задана явным уравнением , , то сторона характеризуется одним из векторов :

, . (6.2)

14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)

Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности s из пространства , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная скалярная функция ; 2) - произвольное разбиение s на n частей с площадями и диаметрами ; 3) - произвольный набор точек;

4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению поверхности s и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы при ,не зависящий ни от способа разбиения поверхности s, ни от выбора точек , называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности s:

Вычисление ПИ-1. Теорема 14.10. Если : 1) поверхность s задана неявным уравнением и есть решение этого уравнения при или - решение уравнения при , или -решение уравнения при , где - проекции s на плоскости - соответственно, 2) между точками s и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то