Введение в теорию переноса в газах

Лекция №4

Введение в теорию переноса в газах.

Элементарное рассмотрение с кинетической точки зрения основных понятий теории газов является весьма грубым и по существу есть оценка порядков величин. Однако, с помощью такого рассмотрения удается выяснить основные качественные закономерности, и оно может быть полезными при анализе более сложных явлений, а введение поправочных коэффициентов позволяет в ряде случаев получать вполне удовлетворительные для практических целей количественные результаты.

С молекулярной точки зрения давление газа на стенки сосуда есть результат передачи импульса ударяющимися молекулами. Импульс, передаваемый единице поверхности в единицу времени (давление) есть ~, где  - поток;  - средняя скорость; - объемная плотность частиц. Откуда

~                                                                                                 (4.1).

Определим температуру газа как меру средней кинетической энергии

                                                                                             (4.2).

Тогда выражение (4.1) с учетом (4.2) примет вид

                                                                                                   (4.3),

известное как уравнение состояния идеального газа. Для частиц, описываемых Максвелловской функцией распределения, уравнение (4.3) может быть получено точно методами статистической физики.

Если имеется смесь N газов, находящихся при одной и той же температуре то

 ~                                                                (4.4),

где  - парциальное давление. Формула (4.4) выражает закон Дальтона.

Тепловое движение частиц приводит к постоянному их перемешиванию и обмену импульсом и энергией в процессе столкновений между собой. В результате в газе происходит выравнивание имеющихся неоднородностей и дает начало нескольким процессам, в зависимости от характера этих неоднородностей:

1. диффузии – при наличии неоднородности концентрации частиц различного сорта;

2. теплопроводности – если изначально имелась область неоднородно нагретого газа;

3. вязкого трения – если имелась скоростная неоднородность.

Все эти явления являются необратимыми процессами и имеют много общего: происходит перенос некой величины (массы, энергии или количества движения) из одной части вещества в другую и могут быть рассмотрены единообразно. Прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению процессов переноса необходимо определить важные с точки зрения столкновительных процессов средние характеристики: частоту столкновений и длину свободного пробега.

 Частота столкновений и средняя длина свободного пробега.

Движение двух тел в пространстве (рис. 4.1) может быть представлено в виде их относительного движения со скоростью , массой  и движения их центра масс со скоростью  с суммарной массой  . Определим функции вероятностей распределения частиц по скоростям для каждого из этих движений. Запишем вероятность сложного события: первая частица имеет скорость, а вторая скорость :(т.к. эти события статически независимы). Для простоты, будем считать, что  и есть Максвелловские сферически симметричные функции распределения вероятностей, тогда

            (4.5).

Перейдем в (4.5) от и  к и  по формулам

                                                                               (4.6).

Для кинетической энергии системы имеем:

                                                                  (4.7).

С учетом (4.6) и (4.7) выражение (4.5) в новых переменных запишется:

             (4.8),

где якобиан преобразования:

.

Поскольку , то из (4.8) следует выражение для функции распределения по относительным скоростям

                                                          (4.9).

C учетом распределения (4.9) средняя скорость относительного движения есть:

                                                                       (4.10).

Найдем среднюю частоту столкновений молекул в газе. Если одну из молекул взять в качестве пробной, то она столкнется со всеми другими молекулами, находящимися в цилиндре объемом  и обладающими заданной скоростью относительно движения , (рис. 4.2) число которых есть . Тогда число столкновений можно определить как

                               (4.11).