Другие предметы \ Основы механики сплошной среды

Введение в теорию переноса в газах, страница 2

Полное число столкновений находится интегрированием (4.11) по всем скоростям относительно движения:

v = (4.12).

Вводя некоторое среднее сечение столкновений и вынося его из под знака интеграла в (4.12), получим

(4.13).

Для частиц с одинаковой массой (приведенная масса ) частота столкновений запишется

; (4.14).

Среднее время между двумя столкновениями есть

(4.15).

Определим среднюю длину свободного пробега как:

(4.16).

Для Максвелловских частиц и из (4.16) следует выражение для длины свободного пробега

(4.17).

Для газа, состоящего из частиц одного сорта, и зависит только от плотности n. Для смеси частиц различного сорта, длина пробега частиц сорта i есть:

(4.18),

где , , , а - эффективные или газокинетические радиусы частиц. Тогда

; и выражение (4.18) преобразуется к виду:

, …. (4.19).

Для газа, состоящего из смеси частиц двух сортов из (4.19) получим:

(4.20).

Элементарная кинетическая теория переноса.

Рассмотрим область, занятую газом и выберем внутри некую площадку , через которую переносится физическая величина «В». Для простоты будем считать, что перенос идет только в одном направлении , нормальном к выбранной площадке (рис. 4.3). Запишем полный поток величины В через площадку, равный разности односторонних потоков. По определению

(4.21),

где - односторонний поток частиц, - значение величины на одну частицу. При подсчете потока будем считать, что в каждом из трех взаимно перпендикулярных направлений переносится одинаковое число частиц – 1/3 от общего числа. Тогда в положительном направлении будет переносится 1/6 всех частиц (т.н. шестигрупповое приближение). В этом случае , где - число частиц в единице объема, а - средняя скорость и уравнение (4.21) запишется:

(4.22).

Очевидно, что частицы, проходящие через сечение , переносят неизменную информацию только из слоев газа, отстоящих от этого сечения на расстоянии средней длины свободного пробега и ; , а (4.22) перепишется

(4.23).

Проводя разложение в правой части (4.23) по малой величине , получим

(4.24),

где знак минус означает, что перенос идет в направлении противоположном градиенту.

Диффузия

Рассмотрим в начале простейший случай, когда происходит диффузия молекул некоторого газа в среде молекул того же газа, т.н. самодиффузию. При этом мы должны предположить, что суммарная концентрация частиц в единице объема постоянна, иначе при - соnst из уравнения состояния следовало бы наличие градиента давления, что привело бы к течению газа. Поэтому следует рассмотреть такой газ, где - соnst, а в общей массе газа есть молекулы каким либо образом помеченные (например, радиоактивные изотопы) и эти молекулы диффундируют в остальном газе. Пусть концентрация меченых молекул , а остальных , тогда ; .