Определение средней силы взаимодействия при ударе шаров

1. Цель работы: определение средней силы взаимодействия при ударе шаров.

2. Теоретические основы работы.

Несколько упрощенно процесс соударения шаров с одинаковой массой m можно описать так. К моменту соприкосновения паров левый имеет нулевую скорость, а, следовательно, и нулевую кинети­ческую энергию. Правый имеет максимальную скорость v и макси­мальную кинетическую энергию.

После соприкосновения левому шару для набора скорости необхо­димо время t. За это же время правый шар должен передать кинети­ческую энергию левому шару. Поскольку время t очень мало, возни­кает большая сила взаимодействия между шарами

F = mv/t

что ведет к деформации шаров и переходу кинетической энергии правого шара в потенциальную энергию деформации шаров

W_n = kx²/2

где k – коэффициент упругости; x - величина деформации.

После, соприкосновения шаров центр масс правого шара продолжает двигаться за счет деформации шаров.

Когда кинетическая энергия правого шара полностью перейдет в потенциальную энергию деформации, начинается обратный процесc - потенциальная энергия деформации переходит в кинетическую энергию левого шара, получающего в результате скорость правого шара.

Правый шар, получив импульс с обратным знаком, теряет свою скорость и энергию.

Установка (рис. 1) предназначена для изучения законов сохра­нения импульса и энергии при ударе двух шаров. Шары массами m₁ и m₂ подвешены на тонких проволоках длиной l так, что в состоянии равновесия шары касаются друг друга. Если отклонить правый шар на угол a от вертикали и затем отпустить, то в момент прохождения шаром положения равновесия произойдет центральный удар. В результате удара оба шара изменят свои скорости. На установке измеряется время соударения, а также углы отклонения шаров до и после удара.

Применим закон сохранения импульса в момент удара. Закон сохранения импульса имеет место в замкнутой системе взаимодей­ствующих тел - в системе, в которой действуют только внутренние силы, являющиеся результатом взаимодействия тел, входящих в данную систему. Внешние силы, т.е. силы, действующие на тела системы со стороны других тел или полей, в замкнутой системе либо отсутствуют, либо их векторная сумма равна нулю.

n

Согласно закону сохранения импульса импульс замкнутой сис­темы материальных тел остается постоянным:

i = 1

P = åP_i = const

Здесь Р_i  = m_iv_i  -импульс i-го тела, входящего в систему;

n – число взаимодействующих тел в системе.

В реальных условиях невозможно получить идеальную замкнутую систему. Однако и в реальных системах  взаимодействующих тел закон сохранения импульса может выполняться при наличии определенных условий. Для системы, состоящей из двух шаров, в момент удара векторная сумма внешних сил - сил тяжести и сил натяжения нитей не равна нулю. Однако проекция внешних сил на ось ОX равна нулю. В этом случае проекция импульса системы на ось будет сохраняться во время удара (сопротивлением воздуха при движении шаров пренебрегаем):

P_x = åP_xi = const

В дальнейшем изложении индекс x опускаем. Для системы двух соударяющихся шаров запишем закон сохранения импульса в проекции на ось OX:

m₁v_1,0 + m₂v_2,0 = m₁v₁ + m₂v₂(1)

Здесь v_1,0v_2,0 – проекции скоростей шаров на ось OX до удара;

v₁ и v₂ –проекции скоростей шаров после удара. Уравнение (1) можно записать в виде

m₁(v₁ – v_1,0) = -m₂(v₂ – v_2,0)

или

m₁Δv₁ = - m₂Δv₂(2)

Разделим (2) на время взаимодействия шаров при ударе t:

m₁Δv₁/t = -m₂Δv₂/t(3)

Равенство (3) представляет собой приближенное выражение третьего закона Ньютона F₁₂ = -F₂₁ в проекции на ось OX. Здесь модули векто­ров F₁₂ и F₂₁ представляют собой средние силы, действующие на каждый из шаров со стороны другого шара. Импульсы сил равны

F₁₂t = m₁(v₁ – v_1,0); F₂₁t = m₂(v₂ – v_2,0)  (4)

Пренебрегая силами сопротивления воздуха и, считая удар шаров абсолютно упругим, применим к удару закон сохранения механической энергии:

m₁v_1,0²/2 + m₂v_2,0²/2 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2  (5)

Решив систему (1) и (5), найдем скорости шаров после удара

V₁ = (2m₂v_2,0 + (m₁ – m₂)v_1,0)/(m₁ + m₂); v₂ = (2m₁v_1,0 + (m₁ – m₂)v_2,0)/(m₁ + m₂)  (6)