Измерение и расчет параметров колебательного контура

Цель работы: измерение и расчет параметров колебательного контура.

Теоретические основы.

В цепи, содержащей индуктивность L, емкость С и активное сопротивление R могут возникать электрические колебания. Если зарядить конденсатор С от батареи Б до  напряжения U_c (рис.1), а затем повернуть переключатель К вправо, то конденсатор начнет разряжаться через катушку и по цепи потечет электрический ток. Энергия    электрического    поля и напряжение на конденсаторе будут уменьшаться, но зато начнут возрастать энергия магнитного поля индуктивности и ток в цепи.

Когда напряжение на конденсаторе, а, следовательно, и энергия электрического поля обратятся в нуль, энергия магнитного поля, а значит и ток, достигнут наибольшего значения. Затем процесс протекает в обратном направлении: ток и магнитная энергия катушки уменьшаются, а напряжение на конденсаторе и энергия электрического поля возрастают. В дальнейшем процесс повторяется. В цепи возникают колебания, называемые свободными, т.к. происходят без подвода энергии извне, а сама электрическая цепь, содержащая элементы R, С, L, называется колебательным контуром.

Рис.1

Согласно второму правилу Кирхгофа в любой момент времени сумма напряжений на элементах С и R контура равна ЭДС самоиндукции E_S , возникающей в катушке L.

IR + U_C = E_S   (2.1)

Из закона Фарадея E_S = -L(dI/dt) следует

L(dI/dt) + IR + q/C = 0   (2.2)

Последнее уравнение можно записать в виде

	(2.3)

 

Здесь

Введем следующие обозначения:

 

 - циклическая частота собственных колебаний,

 

 - коэффициент затухания,

 

 - циклическая частота затухающих колебаний.

С учетом введенных обозначений дифференциальное уравнение (2.3) запишем в виде

	(2.4)

 

Последнее уравнение представляет собой уравнение затухающих электрических колебаний. Его решение имеет вид

q = q₀l^-btsin(wt + L)   (2.5)

здесь L – начальная фаза колебаний.

Решение (2.5) получено при условии, что b² < w₀². В противном случае колебания не возникают, будет наблюдаться апериодический процесс разряда конденсатора. Разделив (2.5) на С, получим уравнение для напряжения на конденсаторе

U = U₀l^-btsin(wt + L)   (2.6)

Продифференцировав (2.5) по времени получим уравнение для тока в контуре.

	(2.7)

 

На рис.2 показана зависимость напряжения на конденсаторе от времени.

Период колебаний определяется по формуле

	(2.8)

Рис. 2

Важной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент.

Логарифмический декремент V равен логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений напряжений в одну и ту же сторону

	(2.9)

 

Из (2.6) следует, что U₁(t) = U₀l^-bt; U₂(t + T) = U₀l^-b(t+T)  

и для логарифмического декремента можно записать

V = bt   (2.10)

В ряде случаев удобно изучать колебательный процесс в системе координат I и U, называемой фазовой плоскостью. Кривая зависимости напряжения от тока на фазовой плоскости называется фазовой кривой.

Для идеального колебательного контура R = 0 имеем b = R/2L = 0

Отсюда

	(2.11)

Система из двух уравнений (2.11) описывает незатухающие колебания. Для полу­чения уравнения фазовой кривой из (2.11) надо исключить параметр t, получим

	(2.12)

 

Это уравнение эллипса. Соответствующая (2.12) фазовая кривая изображена на рис.3.

Рис.3                                            Рис.4

В реальном контуре, активное сопротивление которого отлично от нуля, колебания напряжения и тока описываются уравнениями (2.6) и (2.7). В этом случае амплитуды напряжения и тока в контуре монотонно убывают, и фазовая траектория получается незамкнутой (рис.4).

Метод измерений и описание установки.

На рис.5 показана принципиальная электрическая схема лабораторной работы.

Рис.5

РО – осциллограф CI – 96

PQ – генератор импульсов ГЗ - 118

ПИ – преобразователь импульсов

М – модуль (колебательный контур)

ИП – источник питания «Марс».

Принципиальная схема модуля лабораторной работы М показана на рис.6.

Рис.6.

Модуль содержит элементы колебательного контура: емкость С, катушку L, магазин сопротивлений R. Периодическая зарядка конденсатора С осуществляется через преобразователь импульсов ПИ в виде прямоугольных импульсов. Импульсы подаются на гнезда «Вх  »

Затухающие колебания напряжения на конденсаторе наблюдаются на экране осциллографа РО при подключении    его входа "Y" к соответствующим гнездам РО модуля М.

Общее сопротивление контура равно

R_общ. = R + R_K   (3.1)

Где R – сопротивление магазина, R_K – сопротивление катушки.

Параметры колебательного контура: индуктивность катушки L и емкость конденсатора С определяются с использованием графической зависимости V = f(R). Для различных величин сопротивлений магазина R определяются значения логариф­мического декремента V.