Алгебраические и частотные критерии устойчивости

ЗАДАНИЕ 1. АЛГЕБРОИЧЕСКИЕ И ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.

В теории автоматического регулирования обоснован ряд критериев—признаков устойчивости линейных АСР.

Критерии устойчивости представляют собой правила, устанавливающие устойчивость системы и выявляющие влияние тех или иных параметров и струк­турных изменений в системе на устойчивость.

Критерии-устойчивости можно разделить на алгебраические и частотные. Алгебраические критерии позволяют определять устойчивость путем выполнения алгебраических операций над коэффициентами исходного дифференциального уравнения си­стемы, не прибегая к графическим построениям. Алгебраические критерии устойчивости отличаются значительной сложностью.

Частотные критерии устойчивости имеют более явный физи­ческий смысл. Они позволяют сравнительно просто оценить устой­чивость системы и влияние параметров отдельных ее элементов на устойчивость.

Частотные критерии устойчивости, основанные на использо­вании частотных характеристик, относятся к графо-аналитическим, так как устойчивость оценивают по виду годографа часто­той характеристики. Достоинством этого метода является его наглядность и возможность экспериментального определения частотных характеристик как отдельных звеньев, так и системы

в целом.                   

Алгебраические критерии Рауса и Гурвица устанавливают условие устойчивости на базе определен­ных комбинаций, составленных из коэффициентов характеристи­ческих уравнений вида

  (1)

и

  (2)

Критерий Рауса. Для определения устойчивости линейной АСР по критерию Рауса составляется таблица Рауса. Коэффициенты таблицы называются элементами Рауса. Обозначают  каждый элемент через b_re , где r — номер строки таблицы Рауса; e — номер столбца. Тогда правила заполнения таблицы Рауса сводятся к следующему.

Элементами первой строки таблицы Рауса являются коэффи­циенты характеристического уравнения ( 2 ) с четными индек­сами, т. е. b₁₁ =  a₀ ,  b₁₂=a₂ b   и т. д.

Элементами второй строки таблицы Рауса являются коэффи­циенты характеристического уравнения ( 2 ) с нечетными ин­дексами, т. е.   b₂₁=a₁, b₂₂=a₃. Элементы остальных строк таблицы определяются на основа­нии общего выражения

где n — порядок уравнения АСР.

Общее правило составления определителей Гурвица сводится к следующему: число строк и столбцов определителя  равно k;

по диагонали определителя располагаются коэффициенты харак­теристического уравнения от а₁_ до a_k; слева от диагонали на каж­дой строке располагаются коэффициенты с возрастающими ин­дексами, вправо—с убывающими, причем правее a₀ пишутся нули; все коэффициенты с индексами, значения которых превы­шают степень характеристического уравнения, заменяются нулями. Характеристическое уравнение перед составлением определи­телей Гурвица должно быть приведено к такому виду, при кото­ром a₀>0.

Критерий устойчивости Гурвица сводится к следующему: ли­нейная АСР будет устойчива, если все коэффициенты характери­стического уравнения и все п определителей Гурвица положи­тельны.

Условия устойчивости АСР невысокого порядка определяются простыми соотношениями коэффициентов характеристического уравнения, вытекающими из критериев Рауса и Гурвица. В част­ности, для систем 1-го и 2-го порядка признаком устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристиче­ского

Структура определителей Гурвица показывает, что последний определитель Dn АСР равен

 ,

а уравнением границы устойчивости АСР является

Помимо критериев Рауса и Гурвица к числу алгебраических критериев устойчивости линейных АСР относится критерий И. А. Вышнеградского, обоснование которого рассмотрено во многих специальных трудах по теории автоматического регули­рования. Хотя критерий И. А. Вышнеградского разработан для анализа линейных систем 3-го порядка, заложенные в нем идеи сыграли большую роль в общем развитии теории устойчивости АСР.

Важным достоинством критерия И. А. Вышнеградского явля­ется возможность выделения в плоскости коэффициентов харак­теристического уравнения, а следовательно, в плоскости пара­метров АСР, диапазона изменения двух параметров АСР 3-го порядка, в котором система устойчива и сохраняется однотипный характер переходного процесса: монотонный, колебательный, апериодический.

В практике анализа АСР помимо алгебраических критериев широко используются частотные критерии устойчивости, основан­ные на анализе форм частотных характеристик, отвечающих ус­ловиям устойчивости. Для этой цели используются амплитудно-фазовые и логарифмические амплитудно-фазовые частотные ха­рактеристики, получаемые из выражений передаточных функций АСР.