Исследование временных и частотных характеристик типовых звеньев: Методические указания к лабораторным работам по курсу «Теория автоматического управления»

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Комсомольский-на-Амуре государственный

технический университет

Кафедра «Электропривод и автоматизация промышленных установок»

ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

Методические указания к лабораторным работам по курсу

«Теория автоматического управления»

Комсомольск-на-Амуре 2004

          Цель работы: изучение передаточных функций, переходных функций и функций веса типовых звеньев, а также амплитудно-фазовых, логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик типовых звеньев; исследование влияния параметров типовых звеньев на частотные и временные характеристики.

1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

          Физические процессы в любой динамической системе в общем случае описываются системой дифференциальных уравнений, которая может быть сведена к одному дифференциальному уравнению в форме Коши

,

где     x_вх(t) – входное воздействие;

x_вых(t) – изменение выходной величины;

a_i, b_i, i = 1..n, j = 1..m – постоянные величины, которые определяются физическими свойствами системы.

При замене знака производной оператором дифференцирования , дифференциальное уравнение запишется в виде операторного уравнения

.

          В теории автоматического управления (ТАУ) широкое применение получил способ математического описания динамических систем, основанный на использовании передаточной функции, которая определяется из операторного уравнения.

.

          Передаточной функцией системы автоматического управления (САУ) называют отношение преобразования Лапласа выходной величины x_вых(p) к преобразованию Лапласа входного воздействия x_вх(p) при нулевых начальных условиях. Как правило для физической реализации порядок числителя должен быть меньше или равен порядку знаменателя m £ n. При этом порядок знаменателя m является порядком САУ.

          При анализе динамических свойств САУ рассматривается как звено (см. рис. 1) с передаточной функцией W(p), имеющее входное воздействие x_вх(t) и выходную величину x_вых(t). Передаточная функция полностью характеризует динамические свойства системы. Зная передаточную функцию САУ и вид воздействия, можно определить описание переходного процесса на выходе САУ

;   ;   .

Звенья не выше второго порядка n £ 2 называются типовыми. Любую сложную по конструктивному исполнению и функциональному назначению, систему можно разбить на типовые звенья. В данной лабораторной работе исследуются шесть типовых звеньев: апериодическое, инерционное 2-ого порядка, интегрирующее, реально-дифференцирующее, интегро-дифференцирующее и запаздывающее.

1.2 ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важными временными характеристиками типовых звеньев являются переходная и импульсная переходная функции.

Переходная функция h(t) звена есть функция, описывающая реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях. Сигнал 1(t) имеет уравнение

и изображение по Лапласу

.

График единичного ступенчатого воздействия изображён на рис. 2.

Импульсной переходной w(t) или весовой функцией (функцией веса) звена называют функцию, описывающую реакцию звена на единичное импульсное воздействие d(t) при нулевых начальных условиях. Функция веса d(t) имеет уравнение

и изображение по Лапласу

.

График весовой функции представлен на рис. 3. Между переходной функцией и функцией веса существует алгебраическая связь

.

Графики переходной функции и функции веса называют соответственно переходной и импульсной переходной характеристикой.

1.3 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

          Частотные характеристики получаются при рассмотрении установившихся процессов на выходе звена при подаче на его вход гармонического воздействия с амплитудой A_вх и частотой w. В результате на выходе звена возникает гармонический сигнал с той же частотой w, но с другой амплитудой A_вых и со сдвигом фазы j относительно входного сигнала (см. рис. 4). Величины A_вых и j будут изменяться при изменении частоты w.

В результате образуются частотные характеристики:

 – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

j(w) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Уравнения частотных характеристик можно получить из частотной передаточной функции. Частотную передаточную функцию W(jw) получают из передаточной функции W(p) при подстановке в неё p = jw :

.

Частотная передаточная функция является комплексной функцией от действительной переменной w. Поэтому функцию W(jw) можно представить в виде

,               

где P(w), Q(w) – соответственно вещественная (ВЧХ) и мнимая (МЧХ) частотные характеристики звена;

Характеристики A(w) и j(w) связаны с характеристиками P(w) и Q(w) следующими соотношениями:

Кривую (см. рис. 5), описываемую концом вектора W(jw) на комплексной плоскости (годограф вектора W(jw)), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФХ). В этом случае при частоте w¢значение АЧХ A(w¢) = | W(jw¢) | есть модуль комплексного вектораW(jw¢), а значение ФЧХ j(w¢) = arg W(jw¢) – аргумент комплексного вектора W(jw¢), т. е. угол между вектором W(jw¢) и вещественной осью комплексной плоскости.