Чисельний пошук екстремуму функції однієї змінної. Чисельні методи пошуку екстремуму функції декількох змінних, страница 5

                                      (11.11)

У такий спосіб необхідна умова екстремуму функціонала I(y) у класі функцій із закріпленими кінцями зводиться до крайової задачі для диференціального рівняння.

Будь-яке рішення рівняння (11.10) називається екстремаллю функціонала I(y).

Окремі випадки рівняння Ейлера :

1  Функція F=F(x,y^/) не залежить  від  у.

З рівняння (11.10) очевидно,що , отже,

2  Функція F=F(y,y^/) не залежить  від  x.

Знижуємо порядок і з рівняння (11.10) одержуємо

F-y^/Fy^/=const.

3  Функція F=f(x,y) не залежить від . Тоді рівняння Ейлера - це

алгебраїчне, а не диференціальне рівняння.

Приклад . Задача про брахістохрону. З точки А до точки В під дією сили тяжіння скочується точка масою m .Серед усіх неперер-вних функцій, що з’єднують ці точки, знайти ту, за якою точка скотиться за найменший інтервал часу.

Позначимо s-шлях, v- швидкість , t – час руху точки по кривій y(x). За законами фізики

ds=vdt ,    =>   dt=,   

  v= (закон Галілея); dt=dx.

Час руху точки вздовж кривої y(x) можна визначити як

t(y)=.

Оскільки від const функціонал не залежить, то  відкидаємо і одержуємо функціонал, що будемо мінімізувати .

Підінтегральна функція F(x,y,y^/)= не залежить від х, отже, використовуємо окремий випадок рівняння Ейлера

=const.

Для даної функції= і рівняння Ейлера має

 вигляд

.

Проводячи спрощення, отримуємо

  =>   1+y^/2=.

Остаточно маємо

 - це рівняння Лагранжа.

Інтегруємо в параметричній формі за допомогою заміни . Підстановка її в рівняння надає вигляду

   ,

Остаточно одержуємо рівняння множини кривих в параметрич-ній формі   

   (циклоїда)

Оскільки крива проходить через точку А(0,0) то в ній кут =0, c₂=0:

Значення  в точці  В(x₁ y₁) і const с₁ визначаються  з умови

  =>  .

Значення  знайдемо, використовуючи методи розв’язання нелінійних рівнянь (ітераційні, наприклад). Згодом можна визна-чити і  с₁ із системи   .

У такий спосіб рівняння екстремалі знайдено.

11.3 Екстремаль функціонала, що залежить від похідних вищого порядку

.                  (11.12)

         Розглянемо проблему пошуку екстремалі функціонала на класі функцій  із закріпленими кінцями на проміжку . Сюди входять функції, що разом з своїми похідними неперервні на і для них визначена норма

.             (11.13)

Для пошуку екстремалі у цьому випадку треба використати рівняння Эйлера-Пуассона

.      (11.14)

Це рівняння 2-го порядку ,до нього необхідно додати граничні умови:

.                              (11.15)

Тут  - варіація функції (),

 - варіації її похідних.

Приклад. Знайти екстремаль функціонала серед функцій класу із закріпленими кінцями:

Складемо рівняння Ейлера-Пуассона:

.

Отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння 4-го по-рядку з постійними коефіцієнтами. Знаходимо корені його харак-теристичного рівняння:

k²(k²-1)=0 ; k_1,2=0 ; k_3,4=.

Загальний розв’язок

y=c₁+c₂x+c₃shx+c₄chx+,

де довільні константи  визначаємо з граничних умов.

Завдання 12  Знайти экстремаль функціоналу в класі  функцій  з закріпленими кінцями:

1      I(y)=.

2      I(y)=.

3      I(y)=.

4      I(y)=2.

5      I(y)=.

6      I(y)=.         

7      I(y)=.

8      I(y)= .

9      I(y)=.

10     I(y)=.

11     I(y)=.

12     I(y)=.

13     I(y)= .

14     I(y)=.

15     I(y)=.

16     I(y)=.

17     I(y)=.

18     I(y)=.

19     I(y)=.

20     I(y)=.

21     I(y)=.

22     I(y)=.

23     I(y)= .

24     I(y)=.

25     I(y)=.

26     I(y)=.

27.    I(y)=.

28     I(y)=.

29     I(y)=.

30     I(y)=.