Математика \ Теория систем и математическое моделирование

Система. Еквівалентні математичні моделі. Рівняння регресії. Специфікація входів і виходів системи, страница 5

Специфікація входів і виходів системи

Розглянемо систему, закон еволюції якої описується рівняннями

( 6.1)

Вхід v(k) може бути поділений на дві складові ) і , тобто , де складова може формуватися людиною, що впливає на систему (оператор, директор фірми і т.д.), а складова є впливом навколишнього середовища на цю систему і змінювати її значення неможливо. Значення формуються об'єктивно іншими системами.

Вхід називається керуванням, а - збуренням.

Тоді закон поведінки системи (6.1) може бути представлений як

, (6.2)

. (6.3)

Така система призначена для виконання певних функцій, тобто вона перетворить за визначеним законом сигнали, що надходять від інших систем. Розглянемо задачу розроблення алгоритму керування системою. Є процес , що може формуватися як у самій системі, так і надходити від іншої системи, і треба, щоб у системі (6.2), (6.3) реалізовувався такий процес , що при , де - перша координата вектора (шляхом перестановки рядків рівняння (6.3) завжди можна задачу звести до такої постановки).

Процес називається сигналом, що задається, або впливом, що задається, чи просто завданням. Оскільки він впливає на вихід системи, його можна розглядати як вхід системи (6.2), (6.3).

Отже, вхід розглянутої системи містить три специфічних процеси: керування, збурення і завдання.

Система, яка виробляє такі , що виконується при , називається слідкуючою.

Нехай - перший рядок матриці . Тоді можемо записати .

Вище була виділена компонента вектора-виходу, що мала особливе функціональне, стосовно поведінки системи, призначення. До поводження інших компонентів поки що ніяких вимог не накладалося.

Компоненту виходу s(k) називають функціональною, а векторну компоненту – інформаційною. В останній міститься інформація про стан системи. Вихід може бути поданий у вигляді ).

Задача синтезу органу керуванняполягає в розробленні алгоритму для вироблення значень ) у кожен момент за вимірами і для , що забезпечує внаслідок рівнянь (6.2), (6.3) виконання умови при . При цьому на процес можуть накладатися додаткові вимоги. Наприклад, вимога, щоб при мінімальному виконувалося для усіх .

Синтез модального закону керування. Власні числа і власні вектори оператора або матриці в додатках часто називають модами. Набір власних чисел також називають спектром матриці.

Задача модального керування полягає в побудові такої матриці , щоб власні числа матриці збігалися з заданим спектром . Якщо така матриця знайдена, то поведінка системи

(6.14)

при використанні закону керування буде визначатися модами . Якщо при цьому , то система

буде асимптотично стійкою, тобто буде виконуватися при для будь-якого початкового стану .

Процедуру побудови матриці розглянемо на випадок скалярного керування . Матриця тоді є рядком , вектором–стовпцем. Будемо вважати систему керованою, тобто . У такому випадку вектори лінійно-незалежні.

Позначимо рядок , де коефіцієнти полінома . Розглянемо спектр такий, що . Вони можуть бути як дійсними, так і комплексними. У полінома всі коефіцієнти є дійсними числами.