Побудова за передатною функцією системи модель вхід-вихід та модель с простором станів (Лабораторна робота № 9)

Лабораторна робота №9

Рева М.В.

Iн-72

Варіант №15

За передатною функцією системи

           побудувати:

1)  модель вхід-вихід та  модель с простором станів;

2)  дослідити проблеми:

- керованості; досяжності та спостережуваності;

- стійкості та асимптотичної стійкості;

Варіант
15	7,18	-13,51	0,29	0,21	-4,45	5,26

Запишемо передатну функцію системи:

Побудуємо модель «Вхід-вихід»

Загальний вигляд моделі «Вхід-вихід»:

Маємо:

Дискретна стаціонарна лінійна детермінована модель з простором станів має, як відомо, вигляд

  , де  A=Fb(-a₁, -a₂, ... , -a_n), В=е_п і С=(c₁,c₂,...,c_n).

 У нашому випадку матимемо:

, де

,     .

Порядок  даної моделі .

Оскільки наша система є стаціонарною, тобто матриці A, B і C явно від часу не залежать, то критерій повної спостережуваності моделі має вигляд:

rg= n.           (*)

Тобто, система спостережувана тоді і тільки тоді, коли ця умова виконується. Якщо

Достатня ж умова повної керованості (критерій Калмана) для стаціонарної моделі має вигляд:

rg(B, АВ,..., А^n-1B) = n          (**)

Для асимптотичної стійкості системи необхідно і достатньо, щоб модулі всіх власних значень матриці А були менше одиниці.

> with(linalg):

A:=matrix([[0,1,0],[0,0,1],[-7.18,13.51,-0.29]]);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> B:=vector([0,0,1]);

> C:=vector([0.21,-4.45,5.26]);

> n:=3;

> det(A);

> AB:=multiply(A,B);

> A2B:=multiply(multiply(A,A),B);

> Matr:=concat(B,AB,A2B);

> rank(Matr);

> CA:=multiply(C,A);

> C2A:=multiply(C,multiply(A,A));

> Matr_:=stackmatrix(C,CA,C2A);

> rank(Matr_);

> Poly:=charpoly(A,x);

> Spectrum:=solve(Poly,x);

> Spectrum;

Отже з виконаних розрахунків видно, що умови (*) і (**) виконуються, а значить дана модель є повністю керованою і повністю спостережуваною. А оскільки  і система спостережувана, то вона є і досяжною. З іншого боку, умова асимптотичної стійкості не виконується, а значить наша система не є асимптотично стійкою.