Побудова еквівалентної моделі з простором станів за заданою моделлю вхід-вихід

За моделлю вхід-вихід:

Y(K+4) =

побудувати еквівалентну модель з простором станів.

Вважаючи початковим стан системи

X1:=[colum](1,0,0,0);

розрахувати перехідні частини процесів  та   та побудувати їх графіки при заданих значеннях скалярного входу:

1)  ,

де ;

2)

Тут К₁=0; К₂=N_в+2 К₃=40;

,  де  - номер варіанта.

Математичне обґрунтування алгоритму розв’язку

Дискретна стаціонарна лінійна детермінована динамічна модель з простором станів має вигляд:

           (1)

де

  (2)

- модель вхід-вихід    

Модель 1 це система різницевих рівнянь записаних в матричному вигляді. Для її розв’язку, тобто для визначення станів системи x(k) та виходів y(k) при k=1,2,…  ,необхідно знайти відповідне значення входів та початковий стан системи, за цих умов система завжди має розв’язок.

Моделі 1 та 2 являються еквівалентними.

Доведемо еквівалентність моделей 1 та 2.

Спочатку доведемо рівності:

φ_j (Fb(-a₁, ..., -a_n ))e_n =е_j для j=1,...,n,        (3)

де φ_j(λ) - похідні поліноми матриці Фробеніуса Fb(-a) .

1. База індукції. Для j=n маємо , тобто (2) виконано.

2. Передбачення індукції. Нехай (3) справедливо для j=n-1, n-2, …, l+1.

Доведемо справедливість твердження для j=l:

Для доведення еквівалентності моделей врахуємо, що характеристичний поліном матриці А буде мати вигляд  

Для еквівалентності моделей треба довести, що

Іншу модель з простором станів, яка буде еквівалентною до моделі (1), можна отримати, взявши

Покажемо, як від моделі (1) можна перейти до моделі (2).

Маємо

    (4)

Система (4) містить n+1 рівняння. Помножимо від 1-го до n-го рівняння на відповідні коефіцієнти характеристичного полінома матриці А і додамо отримані в результаті множення перші n рівнянь до останнього, n+1 у системі (4).

Практична реалізація

#Alexandr Opara

#alexandr.opara@gmail.com

#Varian 13

#part1

Висновок:  Система є стійною.