Побудова дискретної лінійної моделі вхід-вихід за показниками входів у систему та її реакцій (Лабораторна робота № 2. Варіант 10)

Татарченко Аліна ІН-91

Лабораторна робота №2

Завдання 4.4 Побудувати дискретну лінійну модель вхід – вихід за показниками входів у систему  та її реакцій , що вимірювалися в однакові моменти часу  разів (дані з табл. 4.4).

Варіант 10:

10	U={3.2;2.8;1.6; 1.55;1.9;2.01;2.5;2.7;3.1;3.6;4.1} Y={6.3; 5.2; 3.1;2.9; 1.5;2.2; 3.8; 3.9; 4.1; 4.9;5.2}

Хід роботи

Загальний вигляд моделі буде такий

Вибір вигляду моделі визначається з передбачення, що реакція системи в момент часу (k+n) залежить від входів виходів в якийсь попередній n моментів часу.

Невідомі коефіцієнти моделі будемо шукати за методом найменших квадратів за умови, що модель найкращим чином буде передбачати вихідні дані, які є відомими. За критерій оптимальності передбачень будемо обирати

 - похибка

Для того, щоб побудувати модель вхід-вихід потрібно:

n – порядок моделі – кількість моментів часу які є впливовими на реакцію системи в початковий момент.

Виберемо порядок моделі:

n визначається з: , N=10

.Тоді вона набуде вигляду

 . Використовувати її можна для , щоб спрогнозувати відповідні відомі значення реакції системи. При

   ;

    ;

   ;

   ;

   ;

  

Модель не може передбачити всіх експериментальних значень виходів, а може передбачити тільки з моменту часу n.

В матричному вигляді система буде виглядати так:

,

.

Метод найменших квадратів:

Достатня умова існування екстремуму в МНК виконується завжди – сума квадратів відхилень не буде мати максимуму, лише мінімум.

Необхідна умова існування екстремуму - - СЛАР, яку необхідно розв’язати відносно Q.

1.) За даними значеннями входів  і виходів , побудувати матрицю R

 

         ...                 …     

        ...              ... 

R=   ………………………………..…………..….....

  ...               …

> R:=<<2.4|2.9|3.6|4.2|1|2|3|4>, <2.9|3.6|4.2|5.1|2|3|4|5>,<3.6|4.2|5.1|5.8|3|4|5|6>,<4.2|5.1|5.8|6.3|4|5|6|7>,<5.1|5.8|6.3|7.8|5|6|7|8>, <5.8|6.3|7.8|9.5|6|7|8|9>>;

2.)Визначити транспоновану матрицю R*

> R1:=transpose(R);

3.)Отримати матрицю А=R*∙R

> A:=multiply(R1,R);

4.) Ввести

> Y1:=<4.2,5.1,5.8,6.3,7.8,9.5>;

5.) Отримати матрицю B = R^*.

> B:=multiply(R1,Y1);

6.) Розв'язати СЛАР Q=(R^*R)^-1R^*.

> A2:=inverse(A);

> Q:=multiply(A2,B);

Отже, модель детермінована модель вхід-вихід для даної задачі буде мати такий вигляд: