Операція. Математична модель операції. Методи оптимізації. Дифференцируемые выпуклые функции

1.   Операція.

Під дослідженням операцій в даному курсі розуміється комплексна математична дисципліна, що займається побудовою, аналізом і застосуванням математичних моделей прийняття оптимальних (найкращих в якомусь сенсі) рішень. Операцією будемо називати будь-який захід (або систему дій), об'єднані єдиним задумом і спрямоване на досягнення певної мети.

Операція завжди є керованим заходом, тобто залежних від вибору тих чи інших способом деяких параметрів, що характеризують її організацію.

Всякий певний вибір залежать від нас параметрів будемо називати рішенням. Оптимальним називаються рішення, які з тих чи інших критеріїв краще інших.

Основним завданням дослідження операцій є попереднє кількісне (а іноді якісне) обгрунтування оптимального рішення.

«особа, яка приймає рішення» позначає групу осіб, яка виробляє узгоджені вимоги до допустимих рішень та вироблення критеріїв оптимальності.

Під ефективністю операції розуміється ступінь її пристосованості до виконання що стоїть перед нею завданням.

2.  Основним завданням дослідження операцій є попереднє кількісне (а іноді якісне) обгрунтування оптимального рішення. Поряд з основним завданням - обгрунтуванням оптимальних рішень - до галузі дослідження операцій відносяться й інші завдання:

- Порівняльні оцінки різних варіантів організації операцій;

- Оцінка впливу на результат операції різних параметрів (елементів рішень та заданих умов);

- Дослідження елементів керованої системи, зміна значень яких може особливо сильно змінити результат операції.

 для проведення дослідження операції необхідно по змістовній постановці створити математичну модель, задати функцію мети і вибрати або розробити метод її рішення.

3.   Математична модель операції

Математичною моделлю називається опис за допомогою математичних символів і дій найбільш істотних сторін досліджуваного процесу та їх взаємозв'язків з точки зору отримання шуканого результату..

процес математичного моделювання можна розбити на наступні основні етапи.

-  Визначення меж об'єкта дослідження

Необхідність такого етапу диктується неможливістю обліку та вичерпного опису всіх сторін більшості реальних систем. Виділивши основні змінні, параметри та обмеження, слід наближено представити систему як деяку ізольовану частину реального світу і спростити його структуру, наклавши обмеження на межі зміни величин, що входять у математичну модель.

-   Вибір керованих змінних

необхідно провести різницю між величинами, значення яких можна змінювати (варіювати) і вибирати їх значення з деякої області з метою досягнення екстремуму функції мети, і величинами, які фіксовані або визначаються зовнішніми факторами.

Варійований величини, що впливають на значення функції мети, називаються керованими змінними.

Знаходження значень керованих змінних, яким відповідає екстремальне значення функції мети, і є оптимальне рішення задачі дослідження операцій.

-   Область допустимих рішень

При створенні математичної моделі на область зміни керованих змінних, як правило, накладаються обмеження, пов'язані з реальними відповідниками змінних соціальним, фізичним, технічним або економічним характеристикам. У математичній моделі ці обмеження записуються у вигляді сукупності нерівностей та рівностей або зазначаються множини, яким повинні належати значення керованих змінних.Елементи множини, задовольняють відповідним обмеженням, утворюють область допустимих рішень відповідної задачі.

-  Функція мети

Обов'язковою складовою частиною математичної моделі є критерій ефективності, мінімального або максимального значення якого відповідає розв'язок задачі дослідження операцій. Такий критерій повністю визначається вибраними значеннями керованих змінних з області допустимих рішень і називається функцією мети.

Существование решения задачи и.о. определяется существованием экстремума функции цели.

4.  за структурою інформаційного стану «особи, що приймає рішення». Якщо «ЛПР» приймає до уваги єдине можливе стан об'єкта досліджень, то таке завдання називається детермінованою. Якщо ж «ЛПР» може розглядати деяку сукупність станів об'єкта досліджень, то така задача є стохастичною (або завданням прийняття рішення в умовах ризику), при відомих апріорних ймовірностях перебування об'єкта в кожному стані. При відсутності такої інформації задача є невизначеною (задача прийняття рішення в умовах невизначеності)

5.  по виду критерію оптимальності

Якщо критерій оптимальності та система обмежень виражені у вигляді математичних співвідношень (функції мети та області допустимих рішень), то завдання дослідження операцій часто називають завданням математичного програмування. Термін математичне програмування вживається в тому сенсі, що рішення задачі дає програму (план) досягнення найкращих результатів в даній операції.