Экономика и менеджмент \ Методы оптимизации и исследование операций

Операція. Математична модель операції. Методи оптимізації. Дифференцируемые выпуклые функции, страница 2

До завдань лінійного програмування відносять задачі, у яких функція мети і система обмежень виражається через лінійні співвідношення .До завдань нелінійного програмування відносяться ті, у яких порушується вимога лінійності

Якщо область допустимих рішень - опукле безліч, а функція мети - опукла функція, то вихідну задачу називають задачею опуклого програмування.

У випадку, коли безліч допустимих рішень має кінцеве число точок, завдання ставляться до дискретного програмування.

6. Методи оптимізації є математичним апаратом рішення задач вибору з деякої сукупності рішень поставленої задачі одного (або кількох) рішень, що задовольняють заданому критерію оптимальності. Таким чином, методи оптимізації є методами вирішення завдань дослідження операцій, коли вони сформульовані як задачі математичного програмування. Аналітичні і чисельні методи оптимізації розроблені для знаходження рішень в скінченновимірних просторах. Для вирішення завдань дослідження операцій найчастіше використовують чисельні методи оптимізації, в яких для знаходження оптимального рішення аналізується інформація про поведінку функції (методи нульового порядку) і іноді про поведінку похідних (методи першого і другого порядків). Методи оптимізації першого і другого порядку докладно розглядаються в курсі математичного аналізу і чисельних методів.

7. - чисельні методи безумовної оптимізації функцій однієї змінної.

- безумовної оптимізації функцій багатьох змінних. Методи чисельного рішення задач багатовимірної безумовної мінімізації численні. Розіб'ємо їх умовно на три класи (як і одномірної оптимізації) в залежності від інформації, яка використовується при реалізації методу.

1. Методи нульового порядку або прямі методи, стратегія мінімізації які побудовані на використанні інформації тільки про значення цільової функції.

2. Методи першого порядку, які при побудові обчислювальної процедури використовують інформацію про значення цільової функції і її похідних першого порядку.

3. Методи другого порядку, в яких використовується інформація про функції та її похідних першого і другого порядків.

9. Выпуклые множества и их свойства

Множество называется выпуклым, если для любых двух точек , точка также принадлежит при всех .

Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, по определению считаются выпуклыми.

Выпуклую оболочку конечного множества , содержащего различных точек , называют выпуклым многогранником. Если и , не принадлежат одной гиперплоскости, то выпуклая оболочка является симплексом, а точки – вершинами симплекса. Для симплексом является отрезок, в – треугольник, в – тетраэдр и т.д.

10. Т Для того, чтобы множество было выпуклым, необходимо, чтобы любая комбинация элементов принадлежала этому множеству.

Т Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Выпуклой оболочкойпроизвольного подмножества Е линейного пространства называется пересечение всех выпуклых множеств пр-ва , содержащих в себе подмножество Е.

Т Выпуклая оболочка множества совпадает с множеством всех выпуклых комбинаций элементов множества Т (Т Каратеодори). Любую точку выпуклой оболочки и произвольного множества можно представить выпуклой комбинацией элементов из , количество слагаемых в которых не превышает .

выпуклый многогранник можно представить как выпуклую комбинацию его вершин.

11. Выпуклые функции

Функцию , определенную на выпуклом множестве , называют выпуклой функцией на этом множестве, если для любых точек и любого выполняется неравенство

Функцию называют строго выпуклой, если для любых при и выполняется строгое неравенство

Понятие выпуклой (строго выпуклой) функции многих переменных аналогично понятию выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) на интервале функции одной переменной.

12. Необходимое и достаточное условие выпуклости функции даётся теоремой.

Т Для того чтобы функция , определённая на выпуклом множестве , была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых , и любых чисел , выполнялось неравенство Иенсена Аналогичное утверждение имеет место и для строго выпуклых функций.

13. Т Если – выпуклая функция на выпуклом множестве , – выпуклая неубывающая функция одного действительного переменного, определенная на множестве , то сложная функция является выпуклой на множестве . Если же – строго выпуклая функция, а – возрастающая на , – строго выпуклая на множестве .