Полем называется множество элементов F, для которых определены две операции: +,*. Т. что сумма и произведение двух любых элементов принадлежит F
A1.α+β=β+α (коммутативность)
A2. (α+β)+γ=α+(β+γ) (ассоциативность)
A3. существует нулевой θ: α+θ=α;
A4. Для любого α сущ. противоположный –α: α+(-α)=θ
B1. α*β=β*α (коммутативность)
B2. (α*β)*γ=α*(β*γ) (ассоциативность)
B3. существует единичный 1: 1*α=α; 1!=θ
B4. для любых α, корме θ существует обратный α-1:α*α-1=1
C1.α*(β+γ)=α*β+α*γ (дистрибутивность «*» отн. «+»)
Следствия:
1.существует единственный нулевой элемент.
2.существует единственный противоположный элемент.
3.операция вычитания обратная сложению. (α-β+β=α)
4.-(α+β)=(-α)+(-β)
5.существует единственный единичный элемент.
6.существует единственный обратный элемент.
7.(α*β)-1=α-1*β-1
8. операция деления; (α/β)*β=α
9. θ*α=θ
10. –α=-1*α
Комплексное число- упоряд.пара чисел (а,b).
Свойства:
z1=z2, if a1=a2, b1=b2
z1+z2=(a1+a2,b1+b2)
z1-z2=(a1-a2,b1-b2)
z1z2=(a1a2-b1b2,a1b2-a2b1)
z1/z2=…
z=(a,b)-алгебр
z=r(cos(φ)+i*sin(φ))-тригон
cos (φ)=a/r
sin (φ)=b/r
z1*z2=r1*r2(cos(φ1+ φ2)+isin(φ1+ φ2))
Свойства операций над матрицами:
1.А+В=В+А;2.А+(В+С)=(А+В)+С
3.А+0=А;4.-А=(-1)*А
5.(Х+М)А=ХА+МА;6.Х(А+В)=ХА+ХВ
7.А+А=2А;8.(-Х)А=-ХА;9.АВ!=ВА;
10.А(ВС)=(АВ)С;11.(А+В)С=АС+ВС
12.Х(АВ)=(ХА)В
Определитель-алгебр.сумма n! членов, членами которой служат всевозможные
Произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и столбце
Плюс, если число инверсий четно, минус-нечетное
Свойства.
1. detA=detAT
2. Антисимметрия столбцов(опред. меняет знак при перестановке двух столбцов).
3. Определитель, имеющий два одинаковых столбца равен 0.
4. Линейное свойство: если все элементы j-ого столбца представимы αij= λ*βi+ μ*γi, то A= λ*D1+ μ *D2
Где D-те же самые матрицы, что и А, но j-ый столбец состоит из βi или γi соответственно.
5.Общий множитель всех элементов некоторого столбца можно вынести за знак определителя.
6.Если некоторый столбец определителя состоит из θ, то определитель равен нулю.
7. Инвариантность определителя к линейному комбинированию его столбцов/строк.
8.det(λA)= λn(detA)
Разложение определителя по строке/столбцу:
detA=ai1Ai1+..+ainAin/a1jA1j+..+anjAnj.A-алгебр.дополнение-
доп.минор, взятый со знаком (-1)^(j+i),i=i1+ik,j=j1+jk
Теорема Лапласа. Определитель матрицы равен сумме произведений всех миноров порядка К
, содержащихся в выбранных строках/столцах
detA=сигма(С к по н/j1,..,jn;1<=j1<=..<=jn<=n)m(i1,in/j1,jn)*M(i1,in/j1,jn)*(-1)^i+j
Обратная матрица:A*A^(-1)=A^(-1)A=E
Линейным (векторным) пространством над полем F называется множество L элементов x,y,z…,удовлетворяющих следующим аксиомам.
А. Каждой паре x,y поставлен в соотв z=x+y
1. x+y=y+x (коммутативность)
2. (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность)
3. существует нулевой θ: x+θ=x;
4. для любого x противоположный: x+(-x)=θ
B. Каждому элементу из L и каждому числу из F: α*x приналежит L, причем
5.α(β*x)=(α*β)x
6.1*x=x
C. 7. α(x+y)=αx+αy
8.(α+β)x=αx+βx
Из аксиом 1-8 можно вывести следующие свойства линейных пространств:
1) В линейном пространстве $ единственный нулевой элемент
2) В линейном пространстве для каждого элемента x $ единственный противоположный элемент (-x)
3) Для всякого xÎL справедливо равенство q x = q
4) Для всякого xÎL в любом линейном пространстве противоположным элементом служит: y=(-1)*x
Пример: Mn (R) = {f(t) = a0 + a1tn + a1t n-1 + … +an | aI Î R }
Линейной комбинацией векторов e1,…,en с коэффициентами a1,…, an называется сумма произведений y = a1e1+…+anen
Доказать, что система векторов e1,…, en линейно зависима тогда и только тогда, когда либо e1 = q, либо ek = линейной комбинации предшествующих векторов. Доказательство: -> Предположим, что если e1,…,en линейно зависимы, тогда a1e1 + a2e2 + … + anen = q не все коэффициенты равны нулю и пусть последний ненулевой коэффициент есть ak. Если k=1, это означает, что e1=q. Если k>1, то из соотношения находим:
ek = (-a1/ak) e1 – (a2/ak) e2 - … - (ak-1/ak) ek-1 <- Доказательство очевидно
Ранг-наивысший порядок r отличныз от нуля миноров этой матрицы
База системы векторов-эквив.ей линейно независ.подсистема векторов.
Базис-линейно независ. система векторов, через векторы которой выражается любой вектор пространства L
L1 п/п L, если:сумма векторов из L1принадлежит L1,аналогично умножение вектора на число
Сумма п/п-множество всех векторов , которые можно представить в виде х1+х2.х1,х2 принадлежат соотв.L1 и L2. Пересечение-множество векторов, одновременно принадлежащих обоим п/п
Прямая сумма п/п-если для каждого вектора х из S=L1+L2 представление х=х1+х2 единственно, S-прямая сумма
Отличный от нуля минор порядка r называется базисным минором A.
Два лин.проствранства L и L1 изоморфны если между их векторами можно установить однозначное соответствие, когда образом суммы двух векторов служит сумма их образов, а образом произведения на число-проиведение образа
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.