Задача о стационарном распределение тепла в стержне, на концах которого поддерживается постоянная температура

Краевые задачи.

Задача о стационарном распределение тепла в стержне, на концах которого поддерживается постоянная температура.

                                                                                    (1)

- источник тепловыделения; - коэффициент теплопроводности; - температура.

                                                            (2)

Определение. В (3) - это числа, не обращающиеся в ноль одновременно, и выполняется условие . Если , то получаем краевые условия первого рода, так называемые условия Дирихле. Если , то получим краевые условия второго рода или условия Неймана. Если  и  одновременно, то получим краевые условия третьего рода.

Определение. Однородная краевая задача – это задачи (2) и (3) тогда, когда . Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение, но может иметь и нетривиальное решение. Частный случай однородной краевой задачи – это задача на собственные значения, она состоит в определение параметров входящих в ДУ, при которых существует нетривиальное решение однородной задачи.

Характерная задача на собственные значения – это задача определения параметра , при котором существует нетривиальное решение на интервале  задачи:

                                                                                                   (4)

В этой формуле оператор L – это линейный дифференциальный оператор, такой же как в формуле (2);  - это заданная функция, непрерывная на интервале ;  - заданные константы.

Определение. Значения параметра , при которых задача (4) имеет нетривиальное решение, называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения задачи (4) – собственными функциями этой краевой задачи. Сама задача (4) называется задачей Штурма-Лиувилля.

Свойства собственных функций этой задачи:

1.)  существует счетное множество собственных значений  и соответствующих им собственных функций, то есть . Все собственные значения задачи (4) можно упорядочить по возрастанию их абсолютной величины:

2.)  каждому собственному значению соответствует, с точностью до постоянной, только одна собственная функция. Ранг собственных значений равен единице.

3.)  в случае краевых условий Дирихле ( y(0)=y(l)=0 ) и при выполнение следующих ограничений  (из формулы (2)), все собственные значения задачи (4) будут строго положительны: .

Теорема о разложимости Стеклова. Если функция f(x) (правая часть) непрерывна и дважды дифференцируема на отрезке  и удовлетворяет однородным краевым условиям типа (4), то эта функция может быть представлена в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда на интервале  по собственным функциям  задачи (4), то есть функция может быть представлена в виде:

                                                                                                    (5)

Замечание. Если дана неоднородная краевая задача с однородными краевыми условиями и правая часть f дифференциального уравнения – дважды непрерывно-дифференцируемая функция, то искать решение этой неоднородной задачи можно в виде (5).

Пример:

;       ;            

      

      

            

Решение краевых задач с помощью функции Грина.

Пусть дано уравнение                                                                  (1)

                                                                                                     (2)                                                                            

И пусть краевая задача имеет единственное решение. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):

                                                                                                              (3)

Пусть  - это нетривиальное решение задачи (3), удовлетворяющее краевому условию (2.1);  - нетривиальное решение задачи (3), удовлетворяющее краевому условию (2.2). Предположим, что  не удовлетворяет краевому условию (2.2), а  - краевому условию (2.1).

Это выполняется, так как если бы решение  удовлетворяло условию (2.2), то  тоже бы ему удовлетворяло, а значит  было бы решением задачи (3) с краевыми условиями (2), а мы решили, что у нее единственное решение => противоречие.

Таким образом:                                                                         (4)

Решения  и  линейно не зависимы, то есть если бы они были пропорциональны (линейно зависимы), то удовлетворяли бы одним и тем же краевым условиям, что не возможно.

Раз у нас есть два линейно независимых решения, то решение неоднородной задачи (1-2) будем искать методом вариации постоянных.

                                                                                                        (5)

                                                                                                                       (6)

                                                                                                                          (7)

        , так как ,  - линейно независимы.

Проинтегрируем (6) и (7):

                                                             (8)

Проинтегрируем (8) по t и получим выражение для ; подставим полученное соотношение в краевые условия (2) и учтем, что  удовлетворяет краевым условиям (2.1), а  - краевым условиям (2.2).

Подставим другие краевые условия и получим, что .

Таким образом                             (9)

                                                                                             (10)

G(t,s) – функция Грина для краевой задачи (1-2), если она определена, то решение краевой задачи (1-2) определяется формулой (9). Для функции Грина определяются только решения  и - линейно независимые и не зависящие от правой части f(x).

При фиксированном s функция Грина обладает следующими свойствами:

1.)  при функция Грина удовлетворяет однородному уравнению (3).

2.)  При  функция Грина удовлетворяет краевым условиям (2).

3.)  При  функция Грина непрерывна.

4.)  При  производная функции Грина  претерпевает единичный скачек, те есть

       .

Доказательство получим исходя из соотношения (10).

Пример.

                        

                    

                      

                   

1.) 

     

2.)