Евклидово пространство. Простейшие свойства евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса

Евклидово пространство

Аксиоматически введем скалярное произведение векторов в вещественном пространстве.

Определение. Будем говорить, что в вещественном пространстве L определено скалярное произведение, если каждой паре векторов х, у L поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое (х, у). При этом выполняются следующие аксиомы:

1° (х, у)=(у, х) – симметричность;

2° (λх, у)=λ(х, у), λR;

3° (х + у, z)=(х, z) + (у, z) – дистрибутивность;

4° (х, х) > 0, если х , (х, х)=0, если х =.

Следствия их аксиом скалярного произведения:

а) (х, λу) = λ (х, у);

б) (х, у + z)=(х, у) + (х, z).

Определение. Линейное пространство L  со введенным скалярным произведением называется евклидовым пространством и обозначается Е.

Здесь мы не уточняем природу элементов линейного пространства L, правила образования х + у,  λх и скалярное произведение. Важно, чтобы эти правила удовлетворяли аксиомам линейного пространства и аксиомам 1° - 4° скалярного произведения.

Примеры евклидовых пространств

1. Пространство V₃.  (х, у)=|х||у|cos(х, у).

2. Пространство R_n.

х=,   у=;

х + у=,   λх=, (х, у)=.

Можно показать, что аксиомы 1° - 4° выполняются.

3. В произвольном n - мерном линейном пространстве L, заданном над полем вещественных чисел, выберем базис е₁, е₂, …, е_n. Тогда х, у L  х=, у= и скалярное произведение можно ввести несколькими способами:

а) (х, у)=;

б) (х, у)=( λ₁, λ₂, …, λ_n – фиксированные положительные числа);

в) (х,у)=х^тАу==

       =

Аксиомы 2° и 3°  выполняются при любой квадратной матрице А nхn.

Аксиома 1° выполняется, если a_ij=a_ji i, j (А = А^т).

Аксиома 4° требует, чтобы х^тАх>0 х, т.е. А должна быть положительно определенной (А>0)

Простейшие свойства евклидова пространства.

Теорема 1. Для любых двух векторов х и у произвольного евклидова пространства Е справедливо неравенство Коши – Буняковского (– Шварца):

(х, у)² (х, х)(у, у).

Доказательство. Для в силу аксиомы 4° скалярного произведения

(х - у, х - у) 0.

В силу аксиом 1° - 3°, последнее неравенство можно записать в виде

(х - у, х - у)=(х, х - у) - (у, х - у) =

                          =(х, х) - (х, у) - (у, х) + (у, у) =

                          =²(х, х) - (х, у) - (у, х) + (у, у) =

       =²(х, х) - (х, у) - (х, у) + (у, у) =

       =  ² (х, х)   - 2  (х, у)   +   (у, у)     0.

Полученный квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения, если и только если его дискриминант

b² - 4ac=4(х, у)² - 4(х, х)(у, у) 0.

Следовательно,

(х, у)² (х, х)(у, у).

Теорема 1а. Неравенство Коши – Буняковского обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы х и у коллинеарны.

Доказательство. Достаточность. Пусть х и у коллинеарны, т.е. х =у. Тогда

(х, у)²=(у, у) ²=² (у, у) ²

и

 (х, х)(у, у)=(у, у)(у, у)=² (у, у) ² .

Т.е. в неравенстве Коши – Буняковского имеет место равенство.

Необходимость. Пусть теперь для некоторых х, у

(х, у)² = (х, х)(у, у).

Если у=, то векторы коллинеарны. Если же у, то выберем =.Тогда

(х - у, х - у)=(х, х) - (х, у) - (у, х) + ²(у, у)=

                           =(х, х) - 2(х, у) + (у, у)=(х, х) - =(х, х) - (х, х)=0,

т.е  х - у=0 и  х =у.

Введем в произвольном евклидовом пространстве понятие нормы (или длины) каждого вектора.

Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если каждому вектору хL ставится в соответствие вещественное число ||х||, называемое нормой (или длиной) х и при этом выполняются следующие три аксиомы:

1°. ||х||>0, если х, ||х||=0, если х=;

2°. ||х||=||||х|| ,;

3°. справедливо неравенство

||х+у||||х||+||у||,

 называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского).

Теорема 2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого вектора х определить равенством

 ||х|| =.

Доказательство. Нужно показать, что для нормы, определенной предыдущим соотношением, справедливы аксиомы 1°-3° определения нормированного пространства. Справедливость аксиомы 1° сразу вытекает из аксиомы 4° скалярного произведения. Справедливость аксиомы 2° следует из аксиом 1° и 2° скалярного произведения. Убедимся в справедливости аксиомы 3°. Запишем неравенство Коши – Буняковского

 |(х, у)| .

С помощью аксиом 1°-4° скалярного произведения и определения нормы отсюда получим

Пример:

Пусть L – n-мерное вещественное линейное пространство, е₁, е₂, …, е_n – базис в L.

 или х^т=,

  или у^т=.

(х,у)=х^тАу==

=

Проверим выполнение аксиом скалярного произведения

1°. (у,х)= у^тАх=(у^тАх)^т=х^тА^ту;

      (х,у) = (у,х) А=А^т, т.е. А – симметричная матрица.

2°. =(х)^тАу=(х^т)Ау=(х^тАу)= (х,у).

3°. (х+у,z)=(x+y)^тАz=(х^т+у^т)Аz=х^тАz+у^тАz=(х,z)+(y,z).

4°. (х,х)= х^тАх>0 при х, т.е. А – положительно определенная матрица

В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными векторами х и у этого пространства.