Аксиоматический подход к построению комплексных чисел. Алгебраическая форма записи

Теория функций комплексного переменного

Литература

Лаврентьев, Шабат: «Методы теории функций комплексного переменного»;

Сидоров, Федорюк, Шабунин: «Лекции по теории функций комплексного переменного»;

Бекарева: «Теория функций комплексного переменного» (учебное пособие)

Аксиоматический подход к построению комплексных чисел. Алгебраическая форма записи

Определение.  Комплексным числом  будем называть пару , если для таких пар определено отношение равенства и операций сложения и умножения следующим образом:

1)  (1) ;

2)  (2) ;

3)  (3) .

Все множество комплексных чисел будем обозначать через .

Рассмотрим комплексные числа вида . Тогда , . Т.е. числа того вида есть вещественные и . Тогда получили, что .

Рассмотрим комплексные числа вида . Такие числа будем называть мнимыми и обозначать, как .

Замечание. В некоторой литературе (чаще всего в электротехнике) вместо  используют  (йот).

 (4). Тогда  и называется мнимой единицей.

Исторически комплексные числа были введены из тех соображений, чтобы любые алгебраические уравнения (в первую очередь с четными степенями) имели корни.

В частности справедлива общая теорема алгебры.

Теорема. В комплексных числах любое алгебраическое уравнение -ого порядка имеет ровно  корней с учетом их кратности: , где  - корень кратности .

Возьмем любое комплексное число . С помощью (2) получим  - алгебраическая форма записи. В алгебраической форме записи сложение комплексных чисел выполняется, как обычное алгебраическое сложение с приведением подобных членов по : . А умножение комплексных чисел, как обычное алгебраическое умножение двучленов с учетом (4).

Определение.  В алгебраической форме записи число  называется вещественной или действительной частью комплексного числа  и обозначается , а  - мнимой частью комплексного числа и обозначается . Тогда  (5).

Замечание. , т.е. мнимая единица не входит в мнимую часть комплексного числа.

Пример. .

Определение.Если комплексное число , то комплексное число  называется сопряженным числу .

Дополнение к основной теореме алгебры: Если алгебраическое уравнение имеет в качестве своих коэффициентов только вещественные числа, то число его комплексных корней (если они есть) будет обязательно четным, и эти комплексные корни будут распадаться на сопряженные пары.

Теорема. 1) для того, чтобы комплексное число совпадало с сопряженным себе необходимо и достаточно, чтобы оно было вещественным: ; 2) для того, чтобы комплексное число при сопряжении меняло знак необходимо и достаточно, чтобы оно было мнимым: .

Обратные операции над комплексными числами (операции вычитания и деления)

Покажем, что для любых комплексных чисел  и  существует единственное комплексное число  такое, что , и будет называть это число разностью чисел  и : .

Доказательство. Предположим, что . Тогда .

Таким образом  (6).

Аналогично покажем, что для любых комплексных чисел  и  существует единственное комплексное число  такое, что , которое будем называть отношением  к : .

Доказательство.

 

Тогда . Рассмотрим . Таким образом , тогда получаем, что .

Рассмотрим умножение комплексного числа на вещественное: . Умножение вещественного числа на комплексное выполняется покомпонентно.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Домашнее задание. Доказать.

Замечание. Как нетрудно увидеть по отношению к операциям сложения, вычитания и умножения на вещественное число, комплексные числа ведут себя точно также как двумерные векторы.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи

Алгебраическая форма записи соответствует декартовым координатам.

 (8). Тогда .

Определение. Величина  называется модулем комплексного числа , а угол , удовлетворяющий соотношениям (8) называется аргументом комплексного числа : .

Замечание. Существует счетное множество углов , удовлетворяющих соотношениям (8), которые отличаются друг от друга на : .

Чтобы не возникало двусмысленности, будем называть главным значением аргумента угол, который будет лежать в промежутке : , тогда .

Если некоторое действие над комплексными числами требует использования понятия аргумента, то по умолчанию всегда предполагается, что все участвующие в формуле аргументы – это либо главные значения, либо им соответствует одно и то же число .

В свете введенных понятий модуля и аргумента, запишем еще одну формулу  (9) – тригонометрическая форма записи комплексного числа, которой соответствуют полярные координаты.

. Тогда

 

Тогда  (10).

Домашнее задание.  Доказать, что .

 (11).

При умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются, а при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Поскольку аргументы комплексных чисел при их умножении и делении ведут себя такие, как показатели степеней или логарифмов, Эйлер ввел формулу:  (12), для которой это свойство остается справедливым и которое расширяет понятие обычной вещественной экспоненты.