Фундамент анализа. Последовательности рациональных чисел

§ 4. Фундамент анализа, 1. Последовательности рациональных чисел

4.1. Вступление. Даже простейшая форма предельного перехода – предел последовательности – базируется на свойстве полноты множества действительных чисел. Поэтому знакомству с пределом последовательности предшествует ознакомление со строгой теорией действительных чисел, хотя сама она лежит за пределами анализа. Тонкое изложение этой теории можно найти в основаниях математики, равносильной теоретической арифметике.

Внимание! Забудем с данного момента о существовании действительных чисел.

Нам известны лишь следующие числа и их свойства.

N = {1; 2; 3; 4; ...}

Z = {..., –1; 0; 1; ...}

Q = {m/n | m Î Z, n Î N}

4.2. Последовательности рациональных чисел, сходящиеся к рациональному числу.

Определение. Последовательностью рациональных чисел называется отображение множества N в Q. Т.о., последовательность рациональных чисел – числовая функция q, заданная на N и принимающая значения в Q:

D(q) = N; E(q) Ì Q.

Значение функции q, принимаемое в точке n, обозначают через q_n = q(n) и называют n-м членом последовательности. Последовательность q будем обозначать: q = (q₁, q₂, ... , q_n, ...) или q = (q_n). " n Î N, q_n Î Q.

Примеры.

1.  " n Î N, q_n =1.

2.  " n Î N, q_n = (–1)ⁿ.

3.  " n Î N, q_n = 1/n.

4.  " n Î N, q_n = n.

5.  q₁ = 1,4; q₂ = 1,41; q₃ = 1,414; q₄ = 1,4142; q₅ = 1,41421; q₆ = 1,414213; q₇ = 1,4142135; q₈ = 1,41421356; ...

Определение. Будем говорить, что последовательность (q_n) рациональных чисел сходится к 0, если для любого рационального положительного числа e можно найти такое натуральное p, что для всех членов последовательности, у которых номер n ³ p, выполняется неравенство: |q_n| £ e, и писать: lim q_n = 0.

lim q_n = 0 Û (" 0 < e Î Q $ p Î N ((" n Î N, n ³ p) Þ |q_n| £ e)).

Внимание! Мы употребляем знак нестрогого неравенства (£) там, где это возможно, и строгого неравенства (<) только там, где это абсолютно необходимо (в силу существа дела). Когда мы пишем знак строгого неравенства, то это явное предупреждение, что здесь требуется осторожность и знак нестрогого неравенства не подходит.

Например, если в предыдущем определении написать вместо e > 0 – e ³ 0, то сходиться к 0 будут лишь последовательности вида: (q₁; q₂; ... ; q_p-1; 0; 0; ...), у которых все члены, начиная с q_p – суть нули.

В примере (3) lim q_n = 0, но все члены q_n отличны от 0.

Определение. Будем говорить, что последовательность (q_n) рациональных чисел сходится к рациональному числу q₀, если последовательность (q_n – q₀) сходится к нулю, и записывать: lim q_n = q₀. Рациональное число q₀ назовем пределом последовательности (q_n) рациональных чисел, а саму последовательность (q_n) – сходящейся в Q.

lim q_n = q₀ Û (" 0 < e Î Q $ p Î N ((" n Î N, n ³ p) Þ |q_n – q₀| £ e)).

В примере (1) lim q_n = 1. Последовательности (2), (4), (5) не сходятся в Q.

Высказывание

А) "Для любого 0 < e Î Q можно найти такое p Î N,что для всех N ' n ³ p выполняется неравенство |q_n – q₀| £ e" логически равносильно высказыванию

В) "Для любого рационального положительного числа e можно найти такое натуральное p, что для всех номеров n ³ p выполняется неравенство |q_n – q₀| £ e/2 (или |q_n – q₀| £ e/3, или |q_n – q₀| £ e/4, или т.п.)".

Теорема. Если последовательность (q_n) рациональных чисел сходится к рациональному числу q₀, то ее предел q₀ единственный.

Доказательство. Допустим, что lim q_n = q₀ Î Q и lim q_n = q₀^/ Î Q.  Тогда на основании определения предела последовательности

" 0 < e Î Q $ p₁ Î N ((" n Î N, n ³ p₁) Þ |q_n – q₀| £ e/2),

                     $ p₂ Î N ((" n Î N, n ³ p₂) Þ |q_n – q₀^/| £ e/2).

Возьмем p = max (p₁,p₂). Тогда для всех n > p будут одновременно выполняться неравенства |q_n – q₀| £ e/2 и |q_n – q₀^/| £ e/2. Þ |q₀ – q₀^/| = |q₀ – q_n + q_n – q₀^/| £  |q₀ – q_n| + |q_n – q₀^/| £ e/2 + e/2 = e. Поскольку |q₀ – q₀^/| ³ 0 и, как показано выше,   |q₀ – q₀^/| £ e для любого положительного числа e, то q₀ – q₀^/ = 0 Þ q₀ = q₀^/.