Исследование физических систем на основе численного решения ОДУ 1-го порядка

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА II-1-10

ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДУ 1-ГО ПОРЯДКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Отработка навыков решения физических задач на основе численного решения ОДУ.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Сформулировать соответствующую физической задаче задачу Коши. Решить ее аналитически. Для численного решения составить программу, отвечающую требованиям предыдущих лабораторных ра­бот, с использованием улучшенного метода Эйлера. Результаты вывести на экран в виде таблицы точного и численного решений постранично по 20 строк и записать в файл. Напечатать график численного решения. Создать ЕХЕ-файл программы и в ходе многократных расчетов (изменяя при необходимости исходные пара­метры) исследовать характерные особенности поведения физической системы. Напечатать графики исследуемых величин для наиболее интересных или типичных случаев.

Провести графи­ческое исследование решения и ответить на вопросы к задаче.

1. Ракета с начальной массой М=5100 кг движется в поле силы тя­жести вертикально вверх под действием постоянной реактивной силы F=3∙10⁵ Н, при этом масса ее уменьшается на ∆m=200 кг за секунду. Приняв, что ракета стартовала в момент времени t=0, исследовать поведение физической системы:

-  вычислить ее скорость через Т=(M-m_ост)/ ∆m сек после старта, если остаточная масса m_ост=200 кг.

-  на сколько процентов изменится максимальная скорость подъема, если ∆m =180 кг/с;

-  какой величины должна быть постоянная реактивная сила F, чтобы конечная скорость полета была 8 км/с;

-  как изменится величина скорости через Т сек после старта, если учитывать сопротивление атмосферы f_сопр= -0.001 v²;

-  чему должна быть равна остаточная масса m_ост,чтобы конечная скорость ракеты была равна 8000 км/с.

2. Начальная температура котла равна температуре окружающей среды Т = 20° С. Котел получает тепло от нагревательного прибора. Ско­рость подачи тепла Ф(t)=0,29t² Дж/с. Теплоемкость котла C=0,88∙10³ Дж/град. Кроме того, котел отдает тепло окружающей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности между температу­рами котла и среды с коэффициентом λ₀ = 2,7∙10² Дж/(сек∙град)). Ис­следовать поведение физической системы:

-  найти температуру через 200 сек от начала нагревания;

-  каким должен быть коэффициент в функции Ф(t), чтобы конеч­ная температура была равна 80 градусов;

-  найти время, через которое конечная температура котла станет равной 120 градусов;

-  выполнить расчеты для Т₀ = 0°С;

-  как изменится время нагревания до температуры Т = 100°C, если коэффициент λ будет линейно зависеть от температуры λ= λ₀ (1+αТ), где α=1/273 1/град..

3. Модель ракеты движется в поле силы тяжести вертикально вверх, выбрасывая непрерывную струю газов с постоянной относительной коростью V = 800 м/с. Расход газа μ = 0,4 кг/с, начальная масса модели ракеты m₀ = 3,2 кг. Начальная скорость равна 0. Исследовать поведение физической системы:

-  какую скорость относительно Земли приобретает ракета через время T=(m₀–m₁)/ μ сек после начала движения (m₁=0,2 кг);

-  какой должна быть относительная скорость газовой струи, чтобы конечная скорость модели была равна 600 м/с;

-  во сколько раз изменится конечная скорость, если расход газа увеличится в 1,4 раза;

-  как изменится величина скорости через Т сек после старта, если учитывать сопротивление атмосферы f_c= -0.001V².

4. Парашютист опускается на парашюте, имеющем форму полусферы радиуса R = 4 м. Его масса вместе с массой парашюта m= 115 кг. Сила сопротивления воздуха F = -γSV², где S - площадь наибольшего сечения, перпендикулярного к направлению движения, V - скорость движения, γ=0,81 1/м³. Считая, что парашют раскрылся при начальной скорости V₀=60 м/с, исследовать поведение физической системы:

- найти скорость V парашютиста через Т = 1,5 сек после раскрытия парашюта;

- через какое время скорость падения установится практи­чески постоянной (изменяется менее чем на 5% за 1 сек);

- как изменится время установления стационарной скорости падения, если радиус парашюта будет равен 5,6 метра.

5. Скорость охлаждения радиатора пропорциональна разности между его температурой и температурой окружающей среды. Коэффициент пропорциональности в некоторых случаях линейно зависит от времени K = K₀(1+αt). Начальная температура Т(0) = 150°С, а температура окружающей среды Т1=0°С. Для расчета принять α = 1/273 1/с; K₀=1,85∙10^-2 Дж/(с∙град). Исследовать при этом предположении поведение физической системы:

- найти температуру радиатора Т в момент времени t = 60 с;

- через какое время температура радиатора уменьшится в 3 ра­за;

- какой должна быть начальная температура радиатора, чтобы через 2 минуты он остыл до 45 градусов.

6. Катушка индуктивности подключена к внешнему источнику напряже­ния. Коэффициент самоиндукции L = 5 Гн, сопротивление обмотки R = 1,5 Ом. Электродвижущая сила меняется по закону Е = Е₀sin(ωt). Исследовать поведение тока в зависимости от времени I(t), если начальный ток I(0)=0, Е₀ =4,2 В, ω=2π/5 1/с:

-  построить график тока в катушке за время 12 сек;

-  как изменится поведение силы тока в цепи, если L=0,5 Гн;

-  определить силу тока в момент t=5 сек, если частоту ω уве­личить вдвое;

-  найти величину тока в катушке в момент t=0,8 сек;

-  чему равно амплитудное значение силы тока;

-  как изменится сила тока в момент t=2 сек, если частоту ЭДС уменьшить вдвое.  

7. Деревянный шар радиуса г падает с высоты Н в воду. Учитывая силу вязкого трения (силу Стокса) и принимая r=3 см, Н=500 см, вычислить: