СУРС №11 Выполнил студент гр.Ф-31 Черныш В.В.
Лекция 14. Решение граничной задачи для ОДУ - 2 методом прогонки.
§1. Конечноразностная апроксимация граничной задачи.
Мы продолжаем применение метода конеч. разностей к реш-ю грани задачи, кот. начата на предыдущей лк. (13.17)-(13.19) – постановка задачи (ОДУ – 2+ГУ)
Мы ввели 3 этапа МКР:
1) сетка (лк. 13 §3)
2) замена производных конечно-разностными выражениями
Во внутр. узлах :
( 14.1 )
=
(
14.2 )
Коэф- ты ур-я: A()
A
; B(
)
B
; C(
)
C
; D(
)
D
(14.3)
Т. о. для ур-я во внутр. точках ,
=1…
Для каждого
+C
(14.4)
- это есть система () линейных ур-ний, где
- изв-е числа относ-но неизв-х
.
Удобно собрать коэф-ты при неизвестных
(14.5)
Введем обозначения ;
;
(14.6)
(14.7)
Рассмотрим ГУ :
(14.8)
Т. о. (14.9)
На второй границе
(14.10)
Т. о. (14.11)
Учёт ур-я во внутр-х узлах сетки и граничных условий с
конечно-разн-ми производными даёт нам систему () ур-ний
относ-но (
) неизв-х
(14.12)
Эту систему можно записать в матрич. форме
(14.13)
Матрица системы ур-ний явл-ся 3-х диагональной
Такой вид матрицы опред-ся тем, что независимо от общего кол-ва неизвестных каждое ур-е связывает только 3, а нулевое и N-ное только 2 неизв-е величины. Решать систему ур-ний с 3-х диаг-ной матрицей стандартным методом Гаусса неэф-но: a) большая часть памяти будет занята нулями; б) болшая часть времени будет занята на обработку нулевых эл-тов.
Напр: N=1 101 неизв-х
, 101 ур-ние
Всех эл-тов 101101=10201
из них ненулевых 301
Поэтому для реш-я систем ур-ний с трёх диаг-й матрицей разработан спец. Метод Гаусса, обрабатывающий только ненулевые эл-ты матрицы – метод прогонки (1954г.)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.