Интегрирование уравнений движения. Прямая и обратная задачи динамики. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

ТЕМА 5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

1 Прямая и обратная задачи динамики.

2 Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

 Начальные условия.

Вопросы для самоподготовки

1 Как формулируются прямая и обратная задачи динамики точки? Какую роль при этом выполняет второй закон Ньютона? Почему его называют основным уравнением динамики?

2 Что понимают под уравнением движения материальной точки? Что такое закон ее движения? Объясните различия между этими понятиями.

3 Что такое «начальные условия»? Какова их роль в определении закона движения точки?

4 Приведите примеры, поясняющие, что при одной и той же действующей силе закон движения точки и вид траектории будут существенно зависеть от начальных условий.

5 От каких величин зависят переменные силы в простейших случаях? Приведите примеры таких сил.

Основные понятия по теме

Рассмотрим движение материальной точки М под действием некоторой силы . Положение точки М в инерциальной системе отсчета определено, если известны зависимости от времени ее радиус-вектора

                                                   (5.1)

или ее координат

                                      (5.2)

Выражения (5.1) и (5.2) называются законами движения материальной точки заданными в векторной и координатной формах соответственно. Нахождение закона движения материальной точки по известной силе  является одной из основных задач механики, получившей название обратная задача динамики.

Исходным уравнением при решении обратной задачи служит основное уравнение динамики (4.1), которое можно записать в виде

                                               (5.3)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.

Спроектировав векторное уравнение (5.3) на оси декартовой системы координат, получаем систему уравнений

                         (5.4)

являющихся дифференциальными уравнениями движения материальной точки в координатной форме.

Решение обратной задачи требует интегрирования дифференциальных уравнений движения, что приводит к появлению произвольных постоянных интегрирования. Для их определения в условии задачи должны присутствовать дополнительные данные называемые начальными условиями движения. При движении материальной точки начальные условия определяют положение и скорость точки в некоторый фиксированный момент времени. Как правило это начальный момент времени . В этом случае начальные условия записанные в векторной форме имеют вид  и .

Примеры решения задач

1 Снаряд массы m=10кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью V₀=400м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время t* полета снаряда до высшей точки и максимальную высоту, достигаемую снарядом. Коэффициент сопротивления k=0,25 кг/с.

Решение. В начале отметим, что в отсутствии силы сопротивления данная задача совпадает с задачей о движении тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью , рассматриваемой в средней школе. Ее решения хорошо известны:

и                                              (1)

где g – ускорение свободного падения.

Рассмотрим, как изменятся результаты (1) при наличии силы сопротивления  В этом случае, согласно второму закону Ньютона, в проекции на вертикальное направление имеем

                                                   (2)

Для определения зависимости V(t) разделим переменные в уравнении (2) и проинтегрируем обе его части

  или                   (3)

где C – постоянная интегрирования. Используя начальное условие V(0)=V₀, находим

                                                          (4)

Тогда, подставив (4) в (3) и выполнив потенцирование, получаем

                                       (5)

Для определения t* учтем, что в наивысшей точке подъема V(t*)=0 и (5) принимает вид

                                            (6)

Решая уравнение (6) относительно t*, убеждаемся, что в этом случае

                                                  (7)