Структурные дефекты и примеси в полупроводниках, страница 9

Первый член представляет собой энергию сил притяжения между частицами кристалла, второй - энергию сил отталкивания; а’, b’, m, n — положительные величины, при чем n>m. Суммирование производится по всем значениям расстояний rl между данным атомом и всеми остальными атомами кристалла.      N — общее число частиц в рассматриваемом объеме. В случае грамм-моля вещества N = NA, где NA — число Авогадро. Множитель 1/2 исключает повторное суммирование по одним и тем же частицам.

Сочетание двух факторов взаимодействия между частицами — притяжения и отталкивания — определяет равновесное расстояние между этими частицами в кристалле. Последнее соответствует минимуму значения U(r) и может быть определено из условия

В случае изотропного изменения объема, введя обозначения

можно выражение (1,17) формально свести к виду

представляющему энергию взаимодействия двухатомной модели твердого тела.  Равновесное расстояние r0 вычисленное из условия (1, 18), имеет в этом случае значение

Зависимость энергии взаимодействия U(r) от расстояния между частицами r может быть представлена в виде кривой (рис. 3);

здесь r0 — расстояние, соответствующее минимуму потенциальной энергии.

В случае ионных кристаллов силы сцепления обусловливаются электростатическим притяжением разноименных ионов и отталкиванием, которое обусловливается как электростатическими силами отталкивания одноименных ионов, так и квантовомеханическим эффектом обменного взаимодействия этих ионов.

Для простой кубической решетки полярных кристаллов, как показывают расчеты, силы отталкивания в первом приближении могут быть описаны потенциалом, обратно пропорциональным девятой степени расстояния между центрами ионов (n = 9), в то время как силы притяжения, будучи чисто кулоновскими, описываются потенциалом, обратно пропорциональным первой степени расстояния между центрами ионов (m = 1).

Следует указать, что показатель степени n для ряда кристаллов существенно отличается от 9 и, вообще говоря, изменяется в пределах от 5 до 12. Поэтому энергия связи ионного кристалла в расчете на грамм-атом может быть записана также в виде