Структурные дефекты и примеси в полупроводниках, страница 4

Поскольку дефекты по Френкелю, как и дефекты по Шоттки, возникают в результате теплового движения кристаллической решетки, в дальнейшем мы часто будем называть их тепловыми дефектами.

В следующем параграфе приводятся некоторые формулы и соотношения, позволяющие оценить концентрацию тепловых дефектов.

§ З. Влияние температуры на концентрацию

тепловых дефектов

Концентрация тепловых дефектов в кристаллах определяется двумя параметрами: температурой кристалла и энергией дефектообразования. Рассмотрим температурную зависимость концентрации тепловых дефектов по Френкелю. Обозначим через ΔU — энергию дефектообразования — работу, необходимую для перевода атома из узла в междоузлие, а через N и N΄ соответственно число атомов в узлах и число междоузлий (в расчете на 1 см3). Пусть при заданной температуре кристалла Т перешло из узлов в междоузлия n атомов и, следовательно, образовалось в решетке столько же вакансий. Поскольку переход атомов в междоузлия и образование вакансий переводит систему (кристалл) в более равновесное состояние, то этот процесс сопровождается увеличением энтропии системы. Энтропия системы может быть записана в виде

                          (1,1)

Здесь к – постоянная Больцмана, а Р и Р΄— число способов, которыми может быть осуществлено размещение n атомов по N΄ междоузлиям и соответственно n вакансий по N узлам:

Подставив (1,2) и (1,3) в (1,1) и воспользовавшись формулой Стирлинга, получаем

С другой стороны, переход атомов в междоузлия приводит к увеличению внутренней энергии W кристалла, которое может быть записано в виде

ΔW = n ΔU                           (1,5)

Здесь ΔU — энергия перехода атома из узла в междоузлие. Если пренебречь изменением объема кристалла, то условие теплового равновесия может быть задано минимумом свободной энергии F = W - ТS относительно n:

Отсюда

или, поскольку N и N΄ » n, то

Таким образом, концентрация дефектов по Френкелю экспоненциально возрастает с ростом температуры. Множитель 1/2 в показателе экспоненты появляется вследствие того, что в кристалле одновременно возникает два дефекта: атом в междоузлии и вакансия.