Электростатическое поле при наличии проводников, страница 3

              Для доказательства леммы воспользуемся свойством  потенциальности электростатического поля: работа его сил не зависит от способа перемещения зарядов.  Рассчитаем работу по перемещению точечного заряда q из бесконечности в точку, удаленную на расстояние r>R от сферы радиуса R, равномерно заряженной зарядом Q. Поскольку поле вне равномерно заряженной сферы эквивалентно полю точечного заряда, расположенного в ее центре (см. задачу 1.2.), эта работа дается выражением  (3.11). С другой стороны, такая же работа будет совершена, если сферу приближать к покоящемуся заряду. В этом случае сфера может рассматриваться как совокупность заряженных точек, для внесения которых в поле заряда q требуется работа (3.12). Из равенства указанных работ следует  утверждение леммы (3.13).

              Очевидно, что в силу принципа суперпозиции доказанная лемма остается справедливой для произвольного статического распределения зарядов, находящихся вне рассматриваемой сферы. Ее непосредственным следствием является утверждение о том, что в любой свободной от зарядов точке пространства потенциал не может принимать экстремальных значений.  В противном случае из точки экстремума, как из центра, можно описать сферу, в каждой точке поверхности которой потенциал будет превосходить (или окажется меньше) потенциал в центре, что противоречит лемме.

Рассмотренное свойство потенциала позволяет легко доказать теорему единственности решения задач электростатики в замкнутой области пространства при заданных граничных условиях (3.6):  в объеме пространства с заданным распределением зарядов r(r), ограниченном замкнутой поверх­нос­тью Г_2,  может существовать лишь единственное решение уравнения Пуассона для потенциала, величина которого на границе задается известной функцией (3.14).

              Сформулированная теорема доказывается методом от противного. Пусть, напротив, внутри рассматриваемой области существует два различных решения j₁(r) и j₂(r), удовлетворяющие уравнению Пуассона и заданному условию на границе. Тогда их разность во всех точках области должна удовлетворять уравнению Лапласа и обращаться в нуль в любой точке границы (3.15). Любая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, может рассматриваться как потенциал некоторого электростатического поля в пространстве, лишенном зарядов (вектор напряженности такого поля может быть вычислен как градиент потенциала).  Согласно доказанной лемме, эта функция не может принимать экстремальных значений внутри области. С учетом тождественности нулю этой функции на  границе это означает ее тождественное равенство нулю во всей внутренней области, что в свою очередь заставляет признать тождественность функций j₁(r) и j₂(r).

              Доказанная теорема непосредственно применима к задачам определения потенциала внутри области, ограниченной проводящими поверхностями, потенциалы которых известны. Если же потенциалы проводников не заданы, можно утверждать лишь то, что на их поверхностях вектор Е не имеет тангенциальной компоненты. В этом случае можно показать, что потенциал определяется внутри с точностью до константы, не влияющей на градиент потенциала, т.е. на вид электрического поля.

3.4.   Использование метода изображений  для расчета электростатических полей при наличии проводящих тел