Электростатическое поле при наличии проводников, страница 2

Пример 3.2. Точечный заряд над плоской границей проводника.

Точечный заряд q₀ расположен на высоте h над плоской границей полупространства, заполненного проводником. Рассчитать распределение заряда, индуцированного на поверхности проводника.

Решение:           

Поскольку индуцированный заряд распределен по плоскости, ограничивающей проводник, создаваемое им поле E’ симметрично относительно этой плоскости (3.7).

              Из условия равенства нулю поля внутри проводника следует взаимная компенсация полей свободного и индуцированного поверхностного зарядов в любой точке Z<0 (3.8).

              Расчет поля E₀, создаваемого точечным зарядом не представляет каких-либо трудностей, что в свою очередь на основании соотношений (3.7) и (3.8) позволяет легко найти поле E’ в произвольной точке пространства и, следовательно, определить суммарное поле. В частности над границей проводника оно оказывается, как и следовало ожидать, имеющим только нормальную к поверхности z=0 составляющую. Ее величина дается выражением (3.9) и позволяет легко найти поверхностную плотность индуцированного заряда (3.10). Полный индуцированный на поверхности проводника заряд может быть найден как интеграл по поверхности от (3.10) и оказывается равным по величине свободному заряду q₀.. Это означает, что все силовые линии, исходящие от точечного заряда над проводником, оканчиваются на его поверхности.

3.3. Теорема единственности решения задач электростатики.

              Задача о нахождении электростатического поля свободных зарядов и системы проводников в общем случае решается численно исходя из требования эквипотенциальности проводящих объемов или условия перпендикулярности вектора Е во всех точках их поверхностей. В ряде простейших случаев верное решение можно ”угадать”, воспользовавшись методом изображений. При таком способе решения задач необходима уверенность в том, что “угаданное” решение действительно соответствует реальному распределению полей. Подобная уверенность обеспечивается теоремой единственности решения задач электростатики с заданными граничными условиями. Указанная теорема является следствием леммы: в свободной от зарядов части пространства потенциал в центре сферы равен среднему значению потенциала на ее поверхности.