Пространство состояний (State-Space). Линейные системы с сосредоточенными параметрами (line and time-invariant system – LTI), страница 2

                                                                                                                                        (9)

                                                                                                                                (10)

Чтобы получить уравнение состояния надо продифференцировать (8) по времени и подставить в него выражение для тока (10). Уравнением для выходных параметров системы является выражение (9). Формулы (5) и (7) для дифференцирующей цепочки:

                                                                                                                                        (11)

Используем уравнения (11), чтобы смоделировать прохождение прямоугольных импульсов через дифференцирующую цепочку. В Simulink есть специальный блок Simulink\Continuous\State-Space, позволяющий задать линейную систему с распределёнными параметрами с помощью матриц A, B, C, D из (5) и (7). Для сравнения результата, решаем эту же задачу с помощью SimPowerSystem (рис. 3).

Рис. 3 Модель дифференцирующей цепочки в Simulink

В окне параметров блока State-Space (рис. 4) необходимо задать четыре матрицы и вектор состояния  в начальный момент времени. В данном примере порядок системы  и один входной и выходной параметр, поэтому вместо матриц задаём соответствующие коэффициенты из (11).

Рис. 4 Параметры блока State-Space

Пример 2

Написать уравнения состояния для линейной системы второго порядка (рис. 5) и выполнить переход от уравнений состояния к дифференциальному уравнению второго порядка.

Рис. 5 Линейная система второго порядка

Также как и в предыдущем примере выберем величины, которые могут быть выражены через интегралы по времени. Такими величинами являются напряжение на конденсаторе  и ток через индуктивность , считаем, что при  эти величины были равны нулю (нулевые начальные условия):

                                                                                                                (12)

где  – ток через конденсатор,  – напряжение на индуктивности. Компоненты вектора состояния соответственно будут  и , входной параметр модели – напряжение, подаваемое на вход цепочки , выходной параметр – . Продифференцируем (12) и подставим в них новые обозначения:

                                                                                                                                    (13)

Теперь необходимо выразить  и  через ,  и . Для этого используем следующие равенства:

                                                                                            (14)

где  – ток через сопротивление,  – падение напряжение на сопротивлении. Из (14) находим выражение для тока в конденсаторе:

                                                                                                                                        (15)

Подставляя (14) и (15) в (13) и применив новые обозначения, получаем уравнения состояния и уравнение для выходного параметра.

                                                                                                                                 (16)

Те же уравнения, только в матричной форме, так как для блока State-Space в Simulink потребуется задать матрицы:

                                                                                                                        (17)

Построим эту модель в Simulink и сравним результат, выдаваемый блоком State-Space с результатом, полученным с помощью SymPowerSystem (рис. 6).

Рис .6 Модель системы второго порядка в Simulink

В диалоговом окне блока State-Space задаём следующие параметры (рис. 7):

Рис. 7 Диалоговое окно блока State-Space

В командной строке Matlab определяем необходимые переменные:

R = 1e4;

C = 1e-6;

L = 2.5;

В диалоговом окне блока Puls Generator задаём период повторения импульсов 0,02 секунды и оставляем скважность 50%. В диалоговых окнах для элементов цепи указываем имена соответствующих переменных.