Математика \ Математический анализ

Ответы на контрольные задания по теме: "Дифуры"

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

Дифуры

Ответ:1

Линейное дифференциального уравнение 1-ого порядка это уравнение вида

$\displaystyle y'+p(x)y=q(x),$

где меняется на некотором интервале, а функции и непрерывны на этом интервале.

Общее решение этого уравнения можно получить как сумму частного его решения и общего решения однородного уравнения

$\displaystyle y'+p(x)y=0.$

Общее решение однородного уравнения имеет вид

$\displaystyle Y (x)= Ce^{- P (x)}\,,$

где -- первообразная функции . Частное решение неоднородного уравнения можно искать методом Бернулли (вариации произвольной постоянной), т.е. в виде

$\displaystyle y (x)=u (x)e^{-P (x)}\,.$

Решение задачи Коши

$\begin{displaymath}\begin{cases}y'+p (x)y=q (x)\,,\\ y (x_{0})=y_{0}\,, \end{cases}\end{displaymath}$

дается формулой

$\displaystyle y (x)= \left(y_{0}+ \int\limits_{x_{0}}^{x} \frac{q (t)}{v (t)}\,dt \right)v (x)\,, \qquad v (x)=e^{- \int\limits_{x_{0}}^{x}p (t)\,dt}\,.$

Ответ: 2

Линейное дифференциального уравнение 2-ого порядка это уравнение вида

$\displaystyle y''+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=q (x),$

(1)

где меняется на некотором интервале, а функции $p_{0},p_{1}$ и непрерывны на этом интервале.

Множество решений однородного уравнения

$\displaystyle y''+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=0$

(2)

является двумерным линейным пространством, то есть может быть описано как семейство функций вида

$\displaystyle y(x)=C_1 y_1(x)+ C_2 y_2(x),$

где -- базис в пространстве решений или, что то же, фундаментальная система решений.

Общее решение неоднородного уравнения является суммой частного решения $y_{*}$ неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения:

$\displaystyle y (x)=y_{*} (x)+Y(x)\,,\qquad Y (x) =C_1 y_1(x)+ C_2 y_2(x).$

Ответ:3

Вронскиан двух дифференцируемых функций $y_{1}$ и $y_{2}$ определяется как функция вида

$\displaystyle W[y_1,y_2]= \begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix} = y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x).$

Если функции $y_{1},y_{2}$ линейно зависимы, их вронскиан равен тождественно нулю. Если эти функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

$\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=0\,,$

верно и обратное. Более того, если определитель Вронского решений этого уравнения равен нулю хотя бы в одной точке, то решения линейно зависимы. Если вронскиан решений не равен нулю хотя бы в одной точке, то он не равен нулю везде и решения будут линейно независимы на любом интервале в области непрерывности коэффициентов рассматриваемого уравнения.

Имеет силу также следующая формула Лиувилля

$\displaystyle W(x)=W(x_0)e^{-\int\limits_{x_0}^{x} p(t)dt}.$

Ответ:4

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид

$\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=0\,.$

Если $y_{1}$ известное нетривиальное его решение, второе решение, линейно независимое с $y_{1}$ , может быть найдено по формуле

$\displaystyle y_{2} (x)=y_{1} (x) \int \frac{W (x)}{y_{1}^{2} (x)}\,dx\,,\qquad W (x)= e^{- \int p (x)\,dx}\,,$

здесь -- определитель Вронского решений $y_{1},y_{2}$ , построенный по формуле Лиувилля. Общее решение уравнения запишется в виде

$\displaystyle y (x)=C_{1}y_{1} (x)+C_{2}y_{2} (x)\,.$

Ответ: 5

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

$\displaystyle y''+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=q(x)\,,$

где изменяется на некотором интервале и функции $p_{0},p_{1}$ и непрерывны на этом интервале. Если

$\displaystyle Y (x)=C_{1}v_{1} (x)+C_{2}v_{2} (x)$

-- общее решение однородного уравнения

$\displaystyle y''+p_{1}(x)y'+p_{0}(x)y=0\,,$

частное решение неоднородного можно искать методом вариации постоянных в виде

$\displaystyle y (x)=u_{1} (x)v_{1} (x)+u_{2}(x)v_{2} (x)\,,$

налагая на функции $u_{1},u_{2}$ ограничение

$\displaystyle u_{1}'(x)v_{1} (x)+u_{2}' (x)v_{2} (x)=0\,.$

Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид

$\displaystyle y(x)=\int_{x_{0}}^{x}\frac{v_1(t)v_2(x)- v_1(x)v_2(t)}{W[v_1,v_2](t)}\,q(t)\,d t+Y (x)\,,$

где $W[v_{1},v_{2} ] (x)=y_{1} (x)y_{2}' (x)-y_{2} (x)y_{1}' (x)$ -- вронскиан решений однородного уравнения и $x_{0}$ -- произвольная фиксированная точка интервала, на котором рассматривается уравнение.

Ответ:6

Линейное дифференциального уравнение -ого порядка имеет вид

$\displaystyle y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{0}(x)y=q(x),$

(1)

где меняется на некотором интервале и функции $p_{0},\ldots p_{n-1},q$ непрерывны на этом интервале.

Множество решений однородного уравнения -- т.е. уравнения с $q (x)\equiv0$ -- является линейным пространством размерности . Как следствие, общее решение однородного уравнения записывается как семейство функций вида

$\displaystyle Y(x)=C_1 y_1(x)+\ldots+ C_n y_n(x),$

где $y_{1},\ldots y_{n}$ образуют базис в пространстве решений, называемый также фундаментальной системой решений.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид суммы частного решения $y_{*}$ неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения:

$\displaystyle y(x)=y_{*} (x) +Y (x).$

Ответ:7

Линейное однородное дифференциальное уравнение -порядка имеет вид

$\displaystyle y^{(n)}+p_{n-1} (x)y^{(n-1)}+\ldots+p_{0} (x)y=0\,.$

Функции $p_{k}$ считаются непрерывными на некотором интервале. На этом же интервале рассматриваются решения этого уравнения. Пусть $y_{1},\ldots y_{n}$ -- решения уравнения. Определителем Вронского (вронскианом) этих решений называется функция , определенная формулой

$\displaystyle W (x)= \begin{vmatrix}y_{1}&\ldots &y_{n}\\ y_{1}'&\ldots& y_{n}'\\ \vdots&\ldots&\vdots\\ y_{1}^{(n-1)}&\ldots& y_{n}^{(n-1)} \end{vmatrix}\,.$

Если рассматриваемые решения линейно зависимы, их вронскиан тождественно равен нулю. Если вронскиан решений равен нулю в одной точке, то он равен нулю тождественно и решения являются линейно зависимыми. Решения будут линейно независимы, если вронскиан их не будет нулем хотя бы в одной точке. В этом случае он будет не равен нулю везде, что можно увидеть, например, из формулы Лиувилля

$\displaystyle W (x)=W (x_{0})e^{-\int\limits_{x_{0}}^{x}p_{n-1} (t)\,dt}\,.$