Решение задачи Коши

Страницы работы

Уважаемые коллеги! Предлагаем вам разработку программного обеспечения под ключ.

Опытные программисты сделают для вас мобильное приложение, нейронную сеть, систему искусственного интеллекта, SaaS-сервис, производственную систему, внедрят или разработают ERP/CRM, запустят стартап.

Сферы - промышленность, ритейл, производственные компании, стартапы, финансы и другие направления.

Языки программирования: Java, PHP, Ruby, C++, .NET, Python, Go, Kotlin, Swift, React Native, Flutter и многие другие.

Всегда на связи. Соблюдаем сроки. Предложим адекватную конкурентную цену.

Заходите к нам на сайт и пишите, с удовольствием вам во всем поможем.

Содержание работы

Notrecognized

Ответ: Пусть некоторая область в $\mathbb{R}^{n+1}$ . Она называть ее конфигурационным пространством.

Полем направлений в называется семейство прямых, такое, что каждой точке $P\in D$ поставлена в соответствие некоторая прямая $\gamma_{P}$ данного семейства, которая проходит через точку .

Интегральными кривыми заданного поля направлений называются гладкие кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с соответствующими прямыми поля направлений.

Введем декартовы координаты $(x,y_{1},\ldots y_{n})$ в области $\mathbb{R}^{n+1}$ . Прямая однозначно задается точкой, через которую она проходит, и направляющим вектором. Предполагая, что среди прямых поля нет перпендикулярных к оси , условимся направляющий вектор нормировать так, чтобы его первая координата была равна единице. Этим условием направляющий вектор будет определен однозначно. Если теперь прямая $\gamma_{P}$ поля направлений соответствует точке с координатами $(x,y_{1},\ldots y_{n})$ , то ее направляющий вектор как функция этой точки запишется в виде $(1,f_{1} (x,y_{1},\ldots y_{n}),\ldots f_{n} (x,y_{1},\ldots, y_{n}))$ или, кратко, $(1,\vec f (x,\vec y))$ . Направляющий вектор касательной к кривой $\vec y=\vec y (x)$ в той же точке будет равен $(1,\vec y')$ . Равенство данных направляющих векторов и ведет к дифференциальному уравнению

$\displaystyle \vec y'=\vec f (x,\vec y)\,,$

Таким образом, с геометрической точки зрения, решить задачу Коши -- это найти интегральную кривую заданного поля направлений, проходящую через данную точку.

Ответ:

Рассмотрим задачу Коши

$\displaystyle \vec y'=\vec f (x,\vec y)\,,\qquad \vec y (x_{0})=\vec b\,.$

Зададим положительное число , называемое далее шагом. Проведем через точку $(x_{0},\vec b)$ прямую поля направлений, определенную дифференциальным уравнением, и отложим от начальной точки отрезки длиной в шаг. Взяв одну из двух полученных точек (мы считаем, что шаг достаточно мал и процедура не выводит нас за пределы конфигурационного пространства), проведем через нее прямую поля направлений и отложим на ней отрезок длиной в шаг таким образом, чтобы угол между отрезками был тупым. Повторим эту операцию некоторое число раз. Аналогично поступим и с другой точкой в шаге от начальной. Описанная процедура приводит нас к ломаной, которая называется ломаной Эйлера (сделайте рисунок). Если шаг достаточно мал, мы смеем надеяться, что полученная кривая в своих гладких точках мало отличается от искомой интегральной кривой. Устремляя шаг к нулю, мы хотели бы получить саму интегральную кривую.

Оказывается, что такого предела вообще говоря нет. Однако можно показать, что:

если функция $\vec f$ непрерывна в окрестности начальной точки, то из любой последовательности ломаных Эйлера с убывающим к нулю шагом в некоторой окрестности начальной точки существует подпоследовательность, сходящаяся к гладкой кривой, которая является интегральной. В частности, при наложенном условии решение задачи Коши существует. Это утверждение составляет содержание теоремы Пеано.