Нелинейные и параметрические цепи

Глава 4.   Нелинейные и параметрические цепи.

4.1.  Примеры нелинейных элементов.

Обычные линейные элементы начинают проявлять нелинейные свойства, если выйти за определённые рамки напряжений и токов (разогрев, деформации и прочие эффекты). Однако эти нелинейные эффекты выражены достаточно слабо, и при нормальных сигналах мы можем их не учитывать, считая элементы линейными.

Существуют и типично нелинейные элементы с очень сильной нелинейностью. Это, прежде всего, полупроводниковые диоды, транзисторы и много других приборов, содержащих p– nпереходы. Основной характеристикой активного нелинейного двухполюсника является его вольт – амперная характеристика, ВАХ. Она однозначно характеризует нелинейный элемент. В качестве примера, на рис. 4.1а представлена ВАХ полупроводникового диода.

Нелинейными могут быть и реактивные элементы цепей, индуктивность и ёмкость. Типичная зависимость нелинейной ёмкости  p – nперехода от напряжения на переходе также изображена на рис. 4.1б. Часто внутрь катушки, для увеличения индуктивности (и возможности её регулирования), помещают сердечник из ферромагнитных материалов с большим значением относительной магнитной проницаемости . В результате, появляется зависимость индуктивности Lот тока, в силу зависимости   от напряжённости магнитного поля, которая пропорциональна току. Таковы некоторые механизмы проявления нелинейности.

4.2.  Некоторые типичные преобразования ВАХ.

Практически всегда нелинейные элементы включаются последовательно или параллельно с линейными, и возникает задача определения ВАХ комбинированного двухполюсника. Рассмотрим несколько примеров с диодами.

1. Последовательное соединение диода с обычным сопротивлением, рис. 4.2. На схемах диод изображается в виде «стрелки», указывающей прямое направление тока. Символ на сопротивлении указывает на нелинейность. При таком соединении элементов складываются напряжения, ток одинаков. Сопротивление возрастает, общий наклон ВАХ уменьшается.

2. Параллельное соединение, рис. 4.3. Теперь складываются токи. Общее сопротивление становится меньше, и наклон участков результирующей ВАХ увеличивается.

3. Разложение ВАХ на чётную и нечётную части. Задана ВАХ диода, рис. 4.4. Требуется разложить её на чётную и нечётную части. . . Если заданная ВАХ апроксимируется двумя прямыми отрезками (как на рис.), то нечётная часть есть обычное линейное сопротивление. Таким образом, любой активный нелинейный двухполюсник может быть представлен параллельным соединением двух нелинейных двухполюсников с чётной и нечётной ВАХ.

4.3.  Нагрузочная прямая.

Для ограничения тока через нелинейный элемент последовательно с ним включают сопротивление, как на рис. 4.5а. Входное напряжение задано. Требуется найти ток в цепи, если ВАХ задана в виде графика, рис. 4.5б. Искомый ток тоже определяется графическим построением. Пишем очевидное равенство. . Для изображённых координат, оно является уравнением прямой, которая и называется нагрузочной. Наклон её однозначно определяется  сопротивлением R. Чем меньше сопротивление, тем круче идёт прямая. При изменении , нагрузочная прямая смещается параллельно, не изменяя наклона. Пересечение ВАХ и нагрузочной прямой даёт нам искомый ток. Точка пересечения с координатами () называется рабочей точкой. Это очень удобное и наглядное построение. Нагрузочную прямую обычно строят по двум точкам пересечения этой прямой с осями координат, () и ().

Используем это построение для графического решения задачи диодного ограничения. Схема и решение приведены на рис. 4.6. Пусть , где  есть постоянное напряжение смещения. Требуется найти  (или ток). ВАХ диода задана графически. Характер построений на рисунке достаточно очевиден. Для любого момента  определяем , проводим нагрузочную прямую и находим соответствующий ток и напряжение. Ток оказывается не синусоидальным. При использовании нагрузочной прямой не надо перестраивать ВАХ диода.

4.4.  Главные особенности нелинейных элементов.

Рассмотрим особенности нелинейных элементов на примере полупроводникового диода, подчёркивая их отличия от линейных.

1. Для нелинейных элементов не выполняется принцип суперпозиции. Вспомним формулировку этого принципа для линейных цепей. Пусть мы имеем линейное уравнение , где  есть линейный алгебраический или дифференциальный оператор, U – напряжение, а  f  характеризует источники. Тогда обычно приводят два следствия линейности. Если  и , то , т.е. пропорциональность U и f . Если  и , тогда . Сумме воздействий соответствует сумма решений (аддитивность).

Для нелинейных цепей эти свойства не выполняются. Пусть, например, мы имеем квадратичную ВАХ, . . Сделаем . Тогда . Пропорциональности нет. Для суммы напряжений  получим . И аддитивности нет.

Вся теория анализа линейных цепей базируется на принципе суперпозиций (спектральный метод, временной, теорема об эквивалентном генераторе и др.). Невозможность использования этого принципа для нелинейных цепей значительно усложняет их анализ.