Магнитостатическое поле и векторный потенциал

                                                                                          Лекция 9

Магнитостатическое поле

и векторный потенциал

9.1.   Векторный потенциал

          Между уравнениями классической электростатики и магнитостатики существует достаточно тесная аналогия, является отражением более глубокой симметрии между электрическими и магнитными взаимодействиями, возникающими на уровне релятивистского описания. Так фундаментальные выражения для электрических магнитных полей, создаваемых точечными зарядами (9.1), отличаются друг от друга лишь операцией векторного умножения на “безразмерную скорость” (отношение скорости частицы к скорости света). Аналогичным образом связаны между собой и выражения для сил, действующих на точечные заряды в электростатических и магнитостатических полях (9.2). Определенные аналогии существуют и для выражений, описывающих электрические и магнитные поля при помощи оператора Ñ.

              Потенциальный характер электростатического поля позволил ввести скалярный потенциал  j как скалярную функцию координат, позволяющую восстановить исходное векторное поле E с помощью оператора Ñ, осуществляющего операцию вычисления градиента (9.3).

Поиск аналогичной функции, восстанавливающей вектор B с помощью оператора пространственного дифференцирования, в классе скалярных функций выглядит бесперспективным, поскольку являющееся источником магнитного поля распределение движущихся зарядов не обладает сферической симметрией и, следовательно, не может характеризоваться скалярной функцией. Формула (9.4) представляет собой простейшее выражение для векторного потенциала, получаемое из его аналога (9.3) с учетом закономерностей, отмеченных для соотношений (9.1-2). Поскольку аналогии не являются достаточным аргументом, необходимо действительно убедиться, что выбранное выражение (9.4) правильно «восстанавливает» магнитное поле равномерно движущегося точечного заряда при помощи операции вычисления ротора (векторного произведения оператора «набла» на векторный потенциал) (9.5).

Как и в случае электростатики при рассмотрении макроскопических ансамблей заряженных частиц целесообразно введение макроскопических поля и векторного потенциала. Аналогия между математическими выражениями для скалярного и векторного потенциалов оказывается очень тесной. Выражение для каждой их трех декартовых компонент векторного потенциала (9.6) может быть получено из выражения для потенциала скалярного простой заменой плотности электрического заряда на соответствующую компоненту плотности электрического тока, деленной на скорость света.

Наличие полного соответствия между выражениями для векторного и скалярного потенциалов позволяет получить уравнение Пуассона для векторного потенциала (9.7),  из аналогичного уравнения для скалярного потенциала путем простой замены плотности электрического заряда на отнесенную к скорости света плотность тока.

Как и в случае определяемого с точностью до константы скалярного потенциала, векторный потенциал определяется неоднозначно. При этом произвол в выборе векторного потенциала оказывается значительно большим: векторные функции координат, отличающиеся  друг от друга на градиент произвольной функции (т.н. градиентное преобразование), определяют одно и тоже магнитное поле (9.8). Указанное свойство является прямым следствием тождественного равенства нулю ротора от градиента любой скалярной функции.

9.2.  Дифференциальная форма уравнений магнитостатики вакуума

          Уравнения магнитостатики вакуума могут быть записаны в весьма краткой и элегантной форме, использующей оператор Ñ, подобно тому, как это делалось в электростатике. Соответствующие формулы легко выводятся, исходя из полученного выражения для векторного потенциала (9.6-7) и связи векторов B и A (9.4).